8. 下列命题为假命题的是（）

A.对顶角相等
B.如果$|x|=1$，那么$x=1$
C.直角都相等
D.同位角相等，两直线平行

8.B

【分析】
要判断假命题，首先明确假命题的定义：当命题的题设成立时，结论不一定成立的命题就是假命题。解题时只需逐个验证每个选项涉及的知识点是否正确，找出结论不成立的选项即可。首先回忆各选项对应知识点：A对应对顶角的性质，B对应绝对值的化简，C对应直角的定义，D对应平行线的判定定理，逐一验证后就能选出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对顶角的性质为对顶角相等，该命题题设成立时结论一定成立，是真命题，不符合题意；
B. 若$|x|=1$，根据绝对值的性质，$x=1$或$x=-1$，不能推出$x$一定等于1，题设成立时结论不一定成立，是假命题，符合题意；
C. 所有直角的度数都是$90°$，因此直角都相等，该命题是真命题，不符合题意；
D. “同位角相等，两直线平行”是平行线的判定定理，是真命题，不符合题意。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
真假命题判断，绝对值的性质，平行线判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查课本中常见代数性质、几何定理的掌握情况，解题时注意涉及绝对值的问题要考虑正负两种情况，避免因考虑不全面出错。
【难度系数】
0.9

9.定义:直线$l_1$与$l_2$相交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线$l_1,l_2$的距离分别为p,q,则称有序实数对$(p,q)$是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是$(1,2)$的点的个数是 ()

A.2
B.3
C.4
D.5

9.C

【分析】
首先要理解“距离坐标”的新定义，要找距离坐标是$(1,2)$的点，就是找同时满足“到直线$l_1$的距离为1、到直线$l_2$的距离为2”的点。我们可以分步思考：第一步，先找所有到$l_1$距离为1的点的位置，根据平行线间距离处处相等的性质，这些点在两条平行于$l_1$、且与$l_1$距离为1的直线上；第二步，再找所有到$l_2$距离为2的点的位置，同理这些点在两条平行于$l_2$、且与$l_2$距离为2的直线上；第三步，同时满足两个条件的点就是这两组平行线的交点，数出交点个数就能得到答案。
【解析】
1. 到直线$l_1$距离为1的点：分布在与$l_1$平行、且和$l_1$的距离为1的两条直线上，记为$a_1$、$a_2$；
2. 到直线$l_2$距离为2的点：分布在与$l_2$平行、且和$l_2$的距离为2的两条直线上，记为$b_1$、$b_2$；
3. 因为$l_1$和$l_2$是相交直线，所以$a_1$、$a_2$分别和$b_1$、$b_2$相交，总共有$2×2=4$个交点，这4个交点同时满足到$l_1$距离为1、到$l_2$距离为2，即“距离坐标”为$(1,2)$的点共有4个。
【答案】
C
【知识点】
1.点到直线的距离
2.平行线间的距离
3.相交线的交点
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是将陌生的新定义转化为已学的几何知识，通过分类讨论满足单个距离条件的点的轨迹，再找公共点即可得到结果，解题时注意不要遗漏不同区域的符合条件的点。
【难度系数】
0.6

10.在平面直角坐标系中,点$P$在$x$轴上,且与原点的距离为$\sqrt{7}$,李明认为点$P$的坐标为$(0,\sqrt{7})$,你认为李明的回答是否正确：，你的理由是。

10. 不正确 理由略

【分析】
解题时首先要明确坐标轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0，y轴上所有点的横坐标都为0。结合题目给出的“点P在x轴上”这一条件，先判断李明给出的点是否符合x轴点的坐标特点，再结合点到原点的距离推导点P的正确坐标，就能判断李明的回答是否正确。
【解析】
解：① 首先明确坐标轴上点的坐标规律：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。
② 题目中点P在x轴上，因此点P的纵坐标一定是0，李明给出的点坐标为$(0,\sqrt{7})$，该点横坐标为0、纵坐标为$\sqrt{7}$，是y轴上的点，不符合点P在x轴上的条件。
③ 另外，点P在x轴上且到原点的距离为$\sqrt{7}$，说明点P横坐标的绝对值为$\sqrt{7}$，因此点P的正确坐标为$(\sqrt{7}, 0)$或$(-\sqrt{7}, 0)$，因此李明的回答不正确。
【答案】
不正确；x轴上的点纵坐标为0，点P在x轴上，因此点P的纵坐标应为0，李明给出的$(0,\sqrt{7})$是y轴上的点，不符合要求，正确的点P坐标为$(\sqrt{7},0)$或$(-\sqrt{7},0)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征，点到原点的距离
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对x轴、y轴上点的坐标特点的掌握，易错点有两个：一是混淆x轴和y轴上点的横、纵坐标的特征，二是容易忽略x轴上到原点距离相等的点有两个，分别位于原点两侧。
【难度系数】
0.8

11.如图3,将周长为8的三角形ABC沿BC方向向右平移1个单位长度得到三角形DEF,则四边形ABFD的周长为.

11. 10

【分析】
解题的核心是利用平移的性质转化线段长度：首先明确平移后对应边相等，对应点的连线长度等于平移距离。我们先拆分四边形ABFD的周长组成，再将未知线段用△ABC的边和平移距离代换，结合△ABC的周长整体计算即可，不需要单独求各边的长度。
【解析】
根据平移的性质可知：平移后对应点的连线长度等于平移距离，对应边相等，因此$AD=CF=1$，$AC=DF$，$BC=EF$。
已知$△ ABC$的周长为8，即$AB + BC + AC = 8$。
四边形ABFD的周长$= AB + BF + DF + AD$，
其中$BF = BC + CF$，将$DF$替换为$AC$，代入得：
四边形ABFD的周长$= AB + (BC + CF) + AC + AD = (AB + BC + AC) + CF + AD$，
代入数值计算：$8 + 1 + 1 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
平移的性质，周长计算
【点评】
本题侧重考查平移性质的灵活应用，解题时采用整体代入的思路，将四边形周长和已知的三角形周长建立关联，不需要逐一求解各边长度，能简化计算过程，降低出错率。
【难度系数】
0.7

12.解不等式组$\begin{cases}2(x+3)≤4x+7, \\ \dfrac{x+2}{2}＞x,\end{cases}$并写出它的所有整数解.

12. 不等式组的解集为$-\dfrac{1}{2}≤x＜2$,它的所有整数解为0,1.

【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是“先分后合”：第一步先分别求解不等式组内的每个一元一次不等式，第二步找到两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集，最后在解集范围内筛选出符合要求的整数解即可。求解过程中要特别注意不等式两边同时乘（或除以）负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
先将不等式组的两个不等式分别标记为①和②：
$\begin{cases}2(x+3)≤4x+7 \ \ ① \\ \dfrac{x+2}{2}＞x \ \ \ \ \ \ \ \ ②\end{cases}$
1. 解不等式①：
去括号，得：$2x + 6 ≤ 4x + 7$
移项，得：$2x - 4x ≤ 7 - 6$
合并同类项，得：$-2x ≤ 1$
系数化为1（不等号方向改变），得：$x ≥ -\dfrac{1}{2}$
2. 解不等式②：
两边同乘2去分母，得：$x + 2 ＞ 2x$
移项，得：$x - 2x ＞ -2$
合并同类项，得：$-x ＞ -2$
系数化为1（不等号方向改变），得：$x ＜ 2$
3. 确定不等式组的解集：
两个不等式的解集公共部分为$-\dfrac{1}{2}≤x＜2$，在该范围内的整数为0、1。
【答案】
不等式组的解集为$-\dfrac{1}{2}≤x＜2$,它的所有整数解为0,1。
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 不等式组解集确定
3. 求不等式组整数解
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题型，重点考验解一元一次不等式的步骤规范性，尤其要注意系数化为1时不等号方向的变化规则，筛选整数解时要注意判断解集的端点是否包含在内，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.8

13.如图4，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM⊥EF，∠1+∠2=90°。求证：AB//CD。

证明：
∵ PM⊥EF，
∴ ∠MPE = 90°，即∠2 + ∠APQ = 90°。
又∵ ∠1 + ∠2 = 90°，
∴ ∠APQ = ∠1（同角的余角相等）。
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。

【分析】
要证明AB//CD，可通过证明两直线被第三条直线所截的同位角相等来推导。首先结合已知PM⊥EF，根据垂直定义可得到∠2与∠APQ的和为90°，再结合题目给出的∠1+∠2=90°，可推出∠APQ和∠1相等，而这两个角恰好是AB、CD被EF所截形成的同位角，即可根据平行线判定定理得证。
【解析】
证明：
∵ PM⊥EF，
∴ ∠MPE = 90°，即∠2 + ∠APQ = 90°。
又
∵ ∠1 + ∠2 = 90°，
∴ ∠APQ = ∠1（同角的余角相等）。
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
证明：
∵ PM⊥EF，
∴ ∠MPE = 90°，即∠2 + ∠APQ = 90°。
又
∵ ∠1 + ∠2 = 90°，
∴ ∠APQ = ∠1（同角的余角相等）。
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
【知识点】
垂线的定义、余角的性质、平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合已知条件找到相等的同位角，综合考察了基础几何定义和定理的运用，能帮助锻炼基础逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

14.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点$A(a,b),B(c,d)$,若点$T(x,y)$满足$x=\frac{a+c}{3},y=\frac{b+d}{3}$,则称点$T$是点$A$和点$B$的“衍生点”.例如:点$M(-2,5)$,点$N(8,-2)$,则点$T(2,1)$是点$M$和点$N$的“衍生点”.
已知点$D(3,0)$,点$E(m,m+2)$,点$T(x,y)$是点$D$和点$E$的“衍生点”.
(1)若点$E(4,6)$,求点$T$的坐标;
(2)直接写出点$T$的坐标(用$m$表示);
(3)若直线$ET$交$x$轴于点$H$,当$∠ DHT=90°$时,求点$E$的坐标.

14. (1)$T(\frac{7}{3},2)$ (2)$T(\frac{3+m}{3},\frac{m+2}{3})$
(3)$E(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$

【分析】
本题围绕新定义“衍生点”展开，解题核心是准确把握衍生点的坐标计算规则：两点的衍生点横坐标为两点横坐标之和的$\frac{1}{3}$，纵坐标为两点纵坐标之和的$\frac{1}{3}$。
(1) 已知点D、E的具体坐标，直接代入衍生点计算公式即可求出T的坐标；
(2) 将点E的坐标用含m的代数式代入衍生点公式，化简后就能得到用m表示的T的坐标；
(3) 点H和点D都在x轴上，$∠ DHT=90°$说明TH垂直于x轴，根据垂直于x轴的直线上所有点横坐标相等，可得直线ET上的E、T两点横坐标相等，列方程求出m的值，即可得到点E的坐标。
【解析】
(1) 已知点$D(3,0)$，点$E(4,6)$，根据“衍生点”的定义：
$x=\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}$，$y=\frac{0+6}{3}=2$
即点T的坐标为$(\frac{7}{3},2)$。
(2) 已知点$D(3,0)$，点$E(m,m+2)$，代入衍生点公式：
$x=\frac{3+m}{3}$，$y=\frac{0+(m+2)}{3}=\frac{m+2}{3}$
即点T的坐标为$(\frac{3+m}{3},\frac{m+2}{3})$。
(3) $\because$点H在x轴上，点$D(3,0)$也在x轴上，$∠ DHT=90°$
$\therefore TH⊥ x$轴，即直线ET为垂直于x轴的直线
$\because$垂直于x轴的直线上所有点横坐标相等
$\therefore$点E的横坐标=点T的横坐标，即$m=\frac{3+m}{3}$
解方程：两边同乘3得$3m=3+m$，移项合并得$2m=3$，解得$m=\frac{3}{2}$
将$m=\frac{3}{2}$代入$E(m,m+2)$，得纵坐标为$\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$
即点E的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$。
【答案】
(1) $T(\frac{7}{3},2)$；(2) $T(\frac{3+m}{3},\frac{m+2}{3})$；(3) $E(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$
【知识点】
新定义应用，平面直角坐标系坐标特征，一元一次方程求解
【点评】
本题以新定义为载体考查平面直角坐标系的基础应用，解题关键是准确理解“衍生点”的运算规则，第三问需要将几何直角的特征转化为坐标的等量关系，考查了知识迁移和数形结合的能力。
【难度系数】
0.7