12.一副三角尺按如图8所示的方式放置，∠E=45°,∠C=30°,则∠EDC的度数是。

12.75°

【分析】
要解决这道题，首先明确两种三角尺的固有角度特征：等腰直角三角尺的两个锐角均为45°，含30°角的直角三角尺中，30°角的余角为60°。要求∠EDC的度数，可利用对顶角相等的性质，先求它的对顶角∠ADB的度数；∠ADB是△ABD的内角，只需要先算出△ABD中另外两个内角∠ABC和∠EAB的度数，再结合三角形内角和定理就能求出结果。
【解析】
解：由三角尺的性质可得：
∠BAC=∠ABE=90°，∠EAB=45°，
在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴∠ABC=90°-∠C=90°-30°=60°，
在△ABD中，根据三角形内角和为180°：
∠ADB=180°-∠ABC-∠EAB=180°-60°-45°=75°，
∵∠EDC与∠ADB是对顶角，对顶角相等，
∴∠EDC=∠ADB=75°。
【答案】
75°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角尺叠放的常规角度计算题，解题核心是熟悉两类三角尺的内角度数，结合基础的三角形内角和、对顶角性质即可求解，是几何角度计算的基础常考题。
【难度系数】
0.7

三、解答题
13. 根据要求解答下列问题：
(1)求图9中x的值；
(2)求图10中y的值.

13.(1)x=54 (2)y=60

【分析】
(1) 求解图9的x值时，可依据三角形内角和定理分析：三角形三个内角的和为180°，图9的三角形三个内角分别为x°、x°、72°，将三个内角相加等于180°，列一元一次方程即可求出x的值。
(2) 求解图10的y值时，可依据三角形外角的性质分析：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，图10中(y+24)°是三角形的外角，和它不相邻的两个内角分别是(y-36)°和y°，根据该性质列方程即可求出y的值。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，列方程：
$x + x + 72 = 180$
合并同类项得：$2x = 180 - 72$
计算得：$2x = 108$
解得：$x = 54$
(2) 根据三角形外角的性质，列方程：
$y + 24 = (y - 36) + y$
化简右侧得：$y + 24 = 2y - 36$
移项计算得：$y = 60$
【答案】
(1) $x=54$；(2) $y=60$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，考查三角形内角和、外角性质的基本应用，只需熟练掌握相关定理建立方程，即可快速完成求解。
【难度系数】
0.85

14. 如图11，在$△ ABC$中，$∠ C = ∠ ABC = 2∠ A$，BD是AC边上的高，求$∠ ABD$的度数.

14.∠ABD=54°

【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用三角形内角和为180°的性质，结合题目给出的∠C=∠ABC=2∠A的数量关系，设未知数列方程求出∠A的度数；第二步，根据BD是AC边上的高可得∠ADB=90°，在直角三角形ABD中利用两个锐角互余的性质，用90°减去∠A的度数即可得到∠ABD的度数。
【解析】
设∠A的度数为$ x $，则$ ∠ABC = ∠C = 2x $。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可得：
$ x + 2x + 2x = 180° $
合并同类项得：$ 5x = 180° $
解得：$ x = 36° $，即$ ∠A = 36° $。
∵ BD是AC边上的高，
∴ $ BD ⊥ AC $，$ ∠ADB = 90° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，两个锐角互余，即$ ∠ABD + ∠A = 90° $，
∴ $ ∠ABD = 90° - 36° = 54° $。
【答案】
$ ∠ABD=54° $
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、方程法求角度
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，核心是结合已知角的数量关系和三角形内角和定理求出基础角的度数，再结合高线的性质完成角度推导，侧重考查学生对三角形基础性质的掌握和简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

15.如图12,在△ABC中,∠A=30°,∠ABC=70°,△ABC的外角∠BCD的平分线CE交AB的延长线于点E.
(1)求∠BCE的度数;
(2)过点D作DF//CE,交AB的延长线于点F,求∠F的度数.

15.(1)∠BCE=50° (2)∠F=20°

【分析】
(1) 要计算∠BCE的度数，首先根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，先求出外角∠BCD的度数，再结合CE是∠BCD的角平分线，角平分线将角分成两个相等的角，就能算出∠BCE的度数。
(2) 要计算∠F的度数，首先利用三角形外角性质求出∠AEC的度数，再结合DF//CE，根据“两直线平行，同位角相等”的性质，即可得到∠F的度数。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠BCD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ BCD = ∠ A + ∠ ABC$
已知$∠ A=30°$，$∠ ABC=70°$，代入得：
$∠ BCD = 30° + 70° = 100°$
∵CE平分$∠ BCD$
∴$∠ BCE = \frac{1}{2}∠ BCD = \frac{1}{2}×100° = 50°$
(2) 由(1)可知$∠ ECD=∠ BCE=50°$，$∠ ECD$是△ACE的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ECD = ∠ A + ∠ AEC$
∴$∠ AEC = ∠ ECD - ∠ A = 50° - 30° = 20°$
∵$DF// CE$
∴$∠ F = ∠ AEC$（两直线平行，同位角相等）
∴$∠ F=20°$
【答案】
(1) $∠ BCE=50°$；(2) $∠ F=20°$
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，综合考查了三角形外角、角平分线、平行线相关的核心性质，解题时按照已知条件逐步推导即可，注意区分各性质的适用条件。
【难度系数】
0.7

16.如图13，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若$∠ B＝35°$，$∠ ACB＝40°$，求$∠ E$的度数；
(2)求证：$∠ BAC＝∠ B+2∠ E$.

16.(1)∠E=35° (2)略

【分析】
(1) 求解∠E的思路：首先根据邻补角和为180°计算出外角∠ACD的度数，再结合角平分线的定义得到∠ECD的度数，最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入已知的∠B的度数即可求出∠E。
(2) 证明的思路：先由角平分线的性质得到∠ACE=∠ECD，再分别利用△BCE的外角性质得到∠ECD和∠B、∠E的关系，利用△ACE的外角性质得到∠BAC和∠E、∠ACE的关系，将两个关系联立整理即可推出要证的结论。
【解析】
(1) 解：
∵∠ACB与∠ACD是邻补角，∠ACB=40°
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-40°=140°
∵CE是∠ACD的平分线
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×140°=70°$
∵∠ECD是△BCE的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠ECD=∠B+∠E
代入∠B=35°，得：
∠E=∠ECD-∠B=70°-35°=35°
(2) 证明：
∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠ECD
∵∠ECD是△BCE的外角
∴∠ECD=∠B+∠E
∵∠BAC是△ACE的外角
∴∠BAC=∠E+∠ACE
将∠ACE替换为∠ECD，代入∠ECD=∠B+∠E，得：
∠BAC=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E
原式得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ E=35°}$；(2) 略
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算与证明的基础题型，核心是熟练运用三角形外角的性质建立不同角之间的数量关系，解题时要注意准确识别外角对应的两个不相邻内角，避免混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7