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7 (2025南京玄武月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,在直线BC或AC上取一点P,使得△ABP为等腰三角形,则符合条件的点的个数有 (
A.3
B.4
C.5
D.6
D
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
7. D
解析
【分析】
要确定使△ABP为等腰三角形的点P的个数，需按照等腰三角形的边长关系分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（AB=AP）；②AB为腰，B为顶角顶点（AB=BP）；③AB为底边（AP=BP）。分别通过画圆、作垂直平分线的方式找到直线AC、BC上的交点，排除无法构成三角形的重合点后统计总数即可。
【解析】
已知△ABC中∠ACB=90°，∠CAB=60°，分三类讨论：
1. 当AB=AP时：以A为圆心，AB的长度为半径画圆，该圆与直线AC交于2个点，与直线BC交于1个不与B重合的点，共3个符合要求的点P；
2. 当AB=BP时：以B为圆心，AB的长度为半径画圆，该圆与直线BC、AC共交于3个不与A、B重合的点，其中1个点与第一类情况的点重合，新增2个符合要求的点P；
3. 当AP=BP时：作线段AB的垂直平分线，该线与直线AC、直线BC各交于1个点，其中1个点与前两类的点重合，新增1个符合要求的点P。
综上，符合条件的点P共有6个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题时要注意分类讨论的完整性，不要仅考虑线段上的点，忽略直线可无限延长的特点，同时要注意排查重合点，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.5
要确定使△ABP为等腰三角形的点P的个数，需按照等腰三角形的边长关系分三类讨论：①AB为腰，A为顶角顶点（AB=AP）；②AB为腰，B为顶角顶点（AB=BP）；③AB为底边（AP=BP）。分别通过画圆、作垂直平分线的方式找到直线AC、BC上的交点，排除无法构成三角形的重合点后统计总数即可。
【解析】
已知△ABC中∠ACB=90°，∠CAB=60°，分三类讨论：
1. 当AB=AP时：以A为圆心，AB的长度为半径画圆，该圆与直线AC交于2个点，与直线BC交于1个不与B重合的点，共3个符合要求的点P；
2. 当AB=BP时：以B为圆心，AB的长度为半径画圆，该圆与直线BC、AC共交于3个不与A、B重合的点，其中1个点与第一类情况的点重合，新增2个符合要求的点P；
3. 当AP=BP时：作线段AB的垂直平分线，该线与直线AC、直线BC各交于1个点，其中1个点与前两类的点重合，新增1个符合要求的点P。
综上，符合条件的点P共有6个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题时要注意分类讨论的完整性，不要仅考虑线段上的点，忽略直线可无限延长的特点，同时要注意排查重合点，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.5
8（2025南通崇川月考）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD=7 cm，CE=5 cm，则DE的长为
2
cm.答案
8. 2
解析
【分析】
解题时可从已知的角平分线和平行线条件入手，首先利用角平分线定义和平行线的内错角相等性质，推导得到△BDF为等腰三角形，得出BD与DF的等量关系；再同理推导△CEF为等腰三角形，得出CE与EF的等量关系；最后观察DE、DF、EF三条线段的和差关系，代入已知数值计算即可得到DE的长度。
【解析】
解：
1.
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
又
∵DF//BC，
∴∠DFB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBF=∠DFB，由等角对等边得：BD=DF=7cm；
2.
∵CF平分∠ACG，
∴∠ECF=∠GCF，
又
∵DF//BC，
∴∠EFC=∠GCF（两直线平行，内错角相等），
∴∠ECF=∠EFC，由等角对等边得：CE=EF=5cm；
3.
∴DE=DF - EF = 7cm - 5cm = 2cm。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于常见的几何基础题型，核心考查“角平分线+平行线”构造等腰三角形的常用模型，只要熟练掌握相关性质和判定，就能快速找到线段的数量关系求解。
【难度系数】
0.7
解题时可从已知的角平分线和平行线条件入手，首先利用角平分线定义和平行线的内错角相等性质，推导得到△BDF为等腰三角形，得出BD与DF的等量关系；再同理推导△CEF为等腰三角形，得出CE与EF的等量关系；最后观察DE、DF、EF三条线段的和差关系，代入已知数值计算即可得到DE的长度。
【解析】
解：
1.
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
又
∵DF//BC，
∴∠DFB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBF=∠DFB，由等角对等边得：BD=DF=7cm；
2.
∵CF平分∠ACG，
∴∠ECF=∠GCF，
又
∵DF//BC，
∴∠EFC=∠GCF（两直线平行，内错角相等），
∴∠ECF=∠EFC，由等角对等边得：CE=EF=5cm；
3.
∴DE=DF - EF = 7cm - 5cm = 2cm。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于常见的几何基础题型，核心考查“角平分线+平行线”构造等腰三角形的常用模型，只要熟练掌握相关性质和判定，就能快速找到线段的数量关系求解。
【难度系数】
0.7
9 (2025无锡锡山月考)如图，$∠ AOB=80°$，C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当$∠ OCP$的度数为
50°或20°或80°
时，$△ COP$是等腰三角形。答案
9. 50°或20°或80°
解析
【分析】
要使△COP为等腰三角形，由于题目未明确哪两条边为腰，因此需分三种情况讨论：分别以O、C、P为等腰三角形的顶角顶点，结合已知∠COP=80°，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理计算∠OCP的度数，验证所有情况符合三角形内角要求即可。
【解析】
已知∠AOB=80°，即∠COP=80°，分三种情况讨论：
1. 当$OC=OP$时，△COP以O为顶角顶点，根据等腰三角形两底角相等，可得：
$∠ OCP=∠ OPC=\frac{180°-∠ COP}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$
2. 当$OC=CP$时，△COP以C为顶角顶点，根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ OPC=∠ COP=80°$，因此：
$∠ OCP=180°-∠ COP-∠ OPC=180°-80°-80°=20°$
3. 当$OP=CP$时，△COP以P为顶角顶点，根据等腰三角形两底角相等，可得：
$∠ OCP=∠ COP=80°$
三种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$50°$或$20°$或$80°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形的多解性，未分类讨论导致漏解，遇到未明确腰或顶角的等腰三角形相关问题时，都要考虑分情况讨论，排除不符合要求的情况即可得到完整答案。
【难度系数】
0.6
要使△COP为等腰三角形，由于题目未明确哪两条边为腰，因此需分三种情况讨论：分别以O、C、P为等腰三角形的顶角顶点，结合已知∠COP=80°，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理计算∠OCP的度数，验证所有情况符合三角形内角要求即可。
【解析】
已知∠AOB=80°，即∠COP=80°，分三种情况讨论：
1. 当$OC=OP$时，△COP以O为顶角顶点，根据等腰三角形两底角相等，可得：
$∠ OCP=∠ OPC=\frac{180°-∠ COP}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$
2. 当$OC=CP$时，△COP以C为顶角顶点，根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ OPC=∠ COP=80°$，因此：
$∠ OCP=180°-∠ COP-∠ OPC=180°-80°-80°=20°$
3. 当$OP=CP$时，△COP以P为顶角顶点，根据等腰三角形两底角相等，可得：
$∠ OCP=∠ COP=80°$
三种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$50°$或$20°$或$80°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形的多解性，未分类讨论导致漏解，遇到未明确腰或顶角的等腰三角形相关问题时，都要考虑分情况讨论，排除不符合要求的情况即可得到完整答案。
【难度系数】
0.6
10 (2025 南京秦淮期中)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=2∠ C$,BD平分$∠ ABC$,交AC于点D,$AE⊥ BD$,垂足为E.求证:$AC=2BE$. 
答案
10. 证明:如图,过点A作AF//BC,交BD的延长线于点F,
所以∠F=∠DBC,∠FAD=∠C.
因为∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠DBC=∠C,
所以∠F=∠FAD=∠ABD=∠C,BD=CD,
所以AD=DF,AB=AF.
因为AE⊥BD,所以$BE=EF=\frac{1}{2}BF$.
因为AC=AD+CD=DF+BD=BF,
所以AC=2BE.
解析
【分析】
要证明AC=2BE，属于线段倍分关系的证明，通常可以通过“加倍短线段”或“折半长线段”的思路转化为线段相等问题解决。首先结合已知条件：BD平分∠ABC，∠ABC=2∠C，可先推出∠ABD=∠DBC=∠C，得到BD=CD，因此AC=AD+CD=AD+BD；再结合AE⊥BD的垂直条件，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可通过作辅助线构造等腰三角形：过A作AF//BC，交BD延长线于F，利用平行线转移角，得到相等的角，进而推出多组等腰三角形，将BE转化为BF的一半，再证明BF与AC相等即可完成证明。
【解析】
证明：如图，过点A作AF//BC，交BD的延长线于点F，
根据平行线的性质，可得∠F=∠DBC，∠FAD=∠C。
∵ BD平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴ ∠ABD=∠DBC=∠C，
∴ ∠F=∠FAD=∠ABD=∠C，
根据等角对等边，可得BD=CD，AD=DF，AB=AF。
∵ AE⊥BD，AB=AF，
∴ 根据等腰三角形三线合一，$BE=EF=\frac{1}{2}BF$。
又
∵ AC=AD+CD，将AD替换为DF，CD替换为BD，
∴ AC=DF+BD=BF，
∴ AC=2BE。
【答案】
10. 证明:如图,过点A作AF//BC,交BD的延长线于点F,
所以∠F=∠DBC,∠FAD=∠C.
因为∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠DBC=∠C,
所以∠F=∠FAD=∠ABD=∠C,BD=CD,
所以AD=DF,AB=AF.
因为AE⊥BD,所以$BE=EF=\frac{1}{2}BF$.
因为AC=AD+CD=DF+BD=BF,
所以AC=2BE.
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是典型的线段倍分证明题，解题核心是通过作平行线构造等腰三角形，利用角的等量关系转化得到线段相等，将待证的倍分关系转化为线段和的等量代换，很好地考查了几何辅助线的构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明AC=2BE，属于线段倍分关系的证明，通常可以通过“加倍短线段”或“折半长线段”的思路转化为线段相等问题解决。首先结合已知条件：BD平分∠ABC，∠ABC=2∠C，可先推出∠ABD=∠DBC=∠C，得到BD=CD，因此AC=AD+CD=AD+BD；再结合AE⊥BD的垂直条件，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可通过作辅助线构造等腰三角形：过A作AF//BC，交BD延长线于F，利用平行线转移角，得到相等的角，进而推出多组等腰三角形，将BE转化为BF的一半，再证明BF与AC相等即可完成证明。
【解析】
证明：如图，过点A作AF//BC，交BD的延长线于点F，
根据平行线的性质，可得∠F=∠DBC，∠FAD=∠C。
∵ BD平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴ ∠ABD=∠DBC=∠C，
∴ ∠F=∠FAD=∠ABD=∠C，
根据等角对等边，可得BD=CD，AD=DF，AB=AF。
∵ AE⊥BD，AB=AF，
∴ 根据等腰三角形三线合一，$BE=EF=\frac{1}{2}BF$。
又
∵ AC=AD+CD，将AD替换为DF，CD替换为BD，
∴ AC=DF+BD=BF，
∴ AC=2BE。
【答案】
10. 证明:如图,过点A作AF//BC,交BD的延长线于点F,
所以∠F=∠DBC,∠FAD=∠C.
因为∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠DBC=∠C,
所以∠F=∠FAD=∠ABD=∠C,BD=CD,
所以AD=DF,AB=AF.
因为AE⊥BD,所以$BE=EF=\frac{1}{2}BF$.
因为AC=AD+CD=DF+BD=BF,
所以AC=2BE.
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是典型的线段倍分证明题，解题核心是通过作平行线构造等腰三角形，利用角的等量关系转化得到线段相等，将待证的倍分关系转化为线段和的等量代换，很好地考查了几何辅助线的构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
11 (2025苏州昆山月考)已知在△ABC中，AB=AC，D是边AB上一点，∠BCD=∠A。（1）如图1，试证明CD=CB；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为E，BE与CD相交于点F。①试证明∠BCD=2∠CBE；②若△BDF是等腰三角形，求∠A的度数。
答案
11. （1）证明:因为AB=AC,所以∠B=∠ACB.
因为∠BDC是△ADC的一个外角,
所以∠BDC=∠A+∠ACD.
因为∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
所以∠BDC=∠ACB,
所以∠B=∠BDC,即CD=CB.
（2）①证明:因为BE⊥AC,所以∠BEC=90°,
所以∠CBE+∠ACB=90°.
设∠CBE=α,则∠ACB=90°−α,
所以∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α,
所以∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α,
所以∠BCD=2∠CBE.
②解:因为∠BFD是△CBF的一个外角,
所以∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,
分三种情况:
当BD=BF时,∠BDC=∠BFD=3α.
因为∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α,
所以90°−α=3α,解得α=22.5°,
所以∠A=∠BCD=2α=45°;
当DB=DF时,∠DBE=∠BFD=3α.
因为∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α,
所以90°−2α=3α,解得α=18°,
所以∠A=∠BCD=2α=36°;
当FB=FD时,∠DBE=∠BDF,
因为∠BDF=∠ABC＞∠DBF,
所以不存在FB=FD.
综上,若△BDF是等腰三角形,则∠A的度数为45°或36°.
因为∠BDC是△ADC的一个外角,
所以∠BDC=∠A+∠ACD.
因为∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
所以∠BDC=∠ACB,
所以∠B=∠BDC,即CD=CB.
（2）①证明:因为BE⊥AC,所以∠BEC=90°,
所以∠CBE+∠ACB=90°.
设∠CBE=α,则∠ACB=90°−α,
所以∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α,
所以∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α,
所以∠BCD=2∠CBE.
②解:因为∠BFD是△CBF的一个外角,
所以∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,
分三种情况:
当BD=BF时,∠BDC=∠BFD=3α.
因为∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α,
所以90°−α=3α,解得α=22.5°,
所以∠A=∠BCD=2α=45°;
当DB=DF时,∠DBE=∠BFD=3α.
因为∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α,
所以90°−2α=3α,解得α=18°,
所以∠A=∠BCD=2α=36°;
当FB=FD时,∠DBE=∠BDF,
因为∠BDF=∠ABC＞∠DBF,
所以不存在FB=FD.
综上,若△BDF是等腰三角形,则∠A的度数为45°或36°.
解析
【分析】
（1）要证明CD=CB，根据等腰三角形的判定，只需证明∠B=∠BDC即可。已知AB=AC可得∠B=∠ACB，结合三角形外角性质和已知∠BCD=∠A，通过角的等量代换即可推出∠BDC=∠B，完成证明。
（2）①要证明∠BCD=2∠CBE，由BE⊥AC可得∠CBE与∠ACB互余，设∠CBE为α，用含α的式子表示∠ACB，再结合（1）的结论，在△BCD中利用三角形内角和定理计算∠BCD的度数，即可得到倍数关系。
②△BDF是等腰三角形，腰不明确需分三种情况讨论：BD=BF、DB=DF、FB=FD，每种情况根据等边对等角得到角的等量关系，结合用α表示的各角度数列方程求解，同时验证角的大小关系排除不可能的情况，最终求出对应的∠A的度数。
【解析】
（1）证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
∵∠BDC是△ADC的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD。
又
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，且∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB，
∴∠B=∠BDC，
∴CD=CB。
（2）①证明：
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠ACB=90°。
设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α。
由（1）可知∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
在△BCD中，∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α，
∴∠BCD=2∠CBE。
②解：
∵∠BFD是△CBF的外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α。
分三种情况讨论：
情况1：当BD=BF时，∠BDC=∠BFD=3α。
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴90°−α=3α，解得α=22.5°，
∴∠A=∠BCD=2α=45°。
情况2：当DB=DF时，∠DBE=∠BFD=3α。
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=(90°−α)−α=90°−2α，
∴90°−2α=3α，解得α=18°，
∴∠A=∠BCD=2α=36°。
情况3：当FB=FD时，∠DBE=∠BDF，
∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF，该情况不成立。
综上，若△BDF是等腰三角形，∠A的度数为36°或45°。
【答案】
（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②∠A的度数为36°或45°
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形相关性质和判定的运用，解题时要注意灵活进行角的等量代换，遇到等腰三角形腰不明确的问题时要分类讨论，同时需验证所得结论是否符合图形的角的大小关系，避免出现不符合题意的解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要证明CD=CB，根据等腰三角形的判定，只需证明∠B=∠BDC即可。已知AB=AC可得∠B=∠ACB，结合三角形外角性质和已知∠BCD=∠A，通过角的等量代换即可推出∠BDC=∠B，完成证明。
（2）①要证明∠BCD=2∠CBE，由BE⊥AC可得∠CBE与∠ACB互余，设∠CBE为α，用含α的式子表示∠ACB，再结合（1）的结论，在△BCD中利用三角形内角和定理计算∠BCD的度数，即可得到倍数关系。
②△BDF是等腰三角形，腰不明确需分三种情况讨论：BD=BF、DB=DF、FB=FD，每种情况根据等边对等角得到角的等量关系，结合用α表示的各角度数列方程求解，同时验证角的大小关系排除不可能的情况，最终求出对应的∠A的度数。
【解析】
（1）证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
∵∠BDC是△ADC的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD。
又
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，且∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB，
∴∠B=∠BDC，
∴CD=CB。
（2）①证明：
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠ACB=90°。
设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α。
由（1）可知∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
在△BCD中，∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α，
∴∠BCD=2∠CBE。
②解：
∵∠BFD是△CBF的外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α。
分三种情况讨论：
情况1：当BD=BF时，∠BDC=∠BFD=3α。
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴90°−α=3α，解得α=22.5°，
∴∠A=∠BCD=2α=45°。
情况2：当DB=DF时，∠DBE=∠BFD=3α。
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=(90°−α)−α=90°−2α，
∴90°−2α=3α，解得α=18°，
∴∠A=∠BCD=2α=36°。
情况3：当FB=FD时，∠DBE=∠BDF，
∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF，该情况不成立。
综上，若△BDF是等腰三角形，∠A的度数为36°或45°。
【答案】
（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②∠A的度数为36°或45°
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形相关性质和判定的运用，解题时要注意灵活进行角的等量代换，遇到等腰三角形腰不明确的问题时要分类讨论，同时需验证所得结论是否符合图形的角的大小关系，避免出现不符合题意的解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
