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6 [2024 牡丹江]某校八年级(3)班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是 (
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
A
)A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
A
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率求解问题，解题思路可分为三步：第一步，明确试验为从4名同学中随机选2名，所有结果出现的可能性相等；第二步，用列举法（或列表法）不重不漏地列出所有可能的选取结果，得到总结果数n；第三步，找出甲、乙同时被选中的结果数m，代入概率公式$P=\frac{m}{n}$即可算出最终概率。
【解析】
我们通过列举所有等可能的选取结果求解：
从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选2名，所有等可能的组合有：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁），共6种，即总结果数$n=6$。
其中甲、乙两名同学同时被选中的情况只有1种，即符合条件的结果数$m=1$。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得甲、乙同时被选中的概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 概率公式
【点评】
本题考查基础的概率计算，解题核心是正确列举出所有等可能的结果，避免出现重复或遗漏的情况，熟练掌握概率计算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能事件的概率求解问题，解题思路可分为三步：第一步，明确试验为从4名同学中随机选2名，所有结果出现的可能性相等；第二步，用列举法（或列表法）不重不漏地列出所有可能的选取结果，得到总结果数n；第三步，找出甲、乙同时被选中的结果数m，代入概率公式$P=\frac{m}{n}$即可算出最终概率。
【解析】
我们通过列举所有等可能的选取结果求解：
从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选2名，所有等可能的组合有：（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁），共6种，即总结果数$n=6$。
其中甲、乙两名同学同时被选中的情况只有1种，即符合条件的结果数$m=1$。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得甲、乙同时被选中的概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 概率公式
【点评】
本题考查基础的概率计算，解题核心是正确列举出所有等可能的结果，避免出现重复或遗漏的情况，熟练掌握概率计算公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7 如图①，有三张卡片，上面分别标有数字1,2,4，它们的背面完全相同. 如图②，P是正五边形ABCDE边上的动点，点P的起始位置在点A处. 现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向运动几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{1}{3}$
D
）A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题是放回型两次试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确放回抽取时，两次抽取的所有等可能结果总数；再结合正五边形的运动规则，推导出从点A出发，两次运动后到达点D需要满足的总步数特征；最后统计符合条件的结果数，用概率公式计算即可。
【解析】
1. 确定总等可能结果：三张卡片放回抽取，第一次、第二次抽取的数字都可以是1、2、4，所有等可能的结果为：(1,1)、(1,2)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,4)、(4,1)、(4,2)、(4,4)，共9种，每种结果出现的可能性相等。
2. 推导到达D点的步数条件：正五边形ABCDE顺时针顺序为A→B→C→D→E→A，从A出发，顺时针走n步时，n除以5余数为3就到达D点（余数1到B、余数2到C、余数3到D、余数4到E、余数0回到A）。
3. 筛选符合条件的结果：
(1,2)：总步数1+2=3，余3，符合；
(2,1)：总步数2+1=3，余3，符合；
(4,4)：总步数4+4=8，8÷5余3，符合；
共3种符合条件的结果。
4. 计算概率：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
列表法求概率，正多边形的性质，概率公式
【点评】
本题结合概率计算和正多边形运动规律命题，需要先梳理运动判定条件，再用列表法枚举所有结果，考查知识的综合运用能力，解题关键是准确找出到达D点的总步数特征。
【难度系数】
0.6
本题是放回型两次试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确放回抽取时，两次抽取的所有等可能结果总数；再结合正五边形的运动规则，推导出从点A出发，两次运动后到达点D需要满足的总步数特征；最后统计符合条件的结果数，用概率公式计算即可。
【解析】
1. 确定总等可能结果：三张卡片放回抽取，第一次、第二次抽取的数字都可以是1、2、4，所有等可能的结果为：(1,1)、(1,2)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,4)、(4,1)、(4,2)、(4,4)，共9种，每种结果出现的可能性相等。
2. 推导到达D点的步数条件：正五边形ABCDE顺时针顺序为A→B→C→D→E→A，从A出发，顺时针走n步时，n除以5余数为3就到达D点（余数1到B、余数2到C、余数3到D、余数4到E、余数0回到A）。
3. 筛选符合条件的结果：
(1,2)：总步数1+2=3，余3，符合；
(2,1)：总步数2+1=3，余3，符合；
(4,4)：总步数4+4=8，8÷5余3，符合；
共3种符合条件的结果。
4. 计算概率：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
列表法求概率，正多边形的性质，概率公式
【点评】
本题结合概率计算和正多边形运动规律命题，需要先梳理运动判定条件，再用列表法枚举所有结果，考查知识的综合运用能力，解题关键是准确找出到达D点的总步数特征。
【难度系数】
0.6
8 在四边形ABCD中，有下列四个条件：① $AB// CD$；② $AD// BC$；③ $AB=CD$；④ $AD=BC$。在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率为
$\frac{2}{3}$
。答案
$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
这是一道结合平行四边形判定与概率计算的综合题，解题思路如下：第一步先计算从4个条件中任选2个的所有等可能的组合总数，注意选条件不分先后顺序，避免重复计数；第二步结合平行四边形的判定定理，逐一判断每种组合能否判定四边形ABCD是平行四边形，统计符合要求的组合数；第三步根据概率公式，用符合条件的组合数除以总组合数即可得到结果。
【解析】
首先计算从4个条件中任选2个的所有等可能情况，列举如下：①②、①③、①④、②③、②④、③④，共6种。
再逐一判断各组合能否判定平行四边形：
1. 选①②：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合判定要求；
2. 选①③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合判定要求；
3. 选①④：$AB// CD$且$AD=BC$时，四边形可能是等腰梯形，无法判定是平行四边形，不符合；
4. 选②③：$AD// BC$且$AB=CD$时，四边形可能是等腰梯形，无法判定是平行四边形，不符合；
5. 选②④：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合判定要求；
6. 选③④：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合判定要求。
综上，符合要求的组合共4种，根据概率公式可得：$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平行四边形的判定、列举法求概率、组合计数
【点评】
本题兼顾了几何性质与概率计算的考查，需要学生熟练掌握平行四边形的判定定理，尤其要注意“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形，避免错算符合条件的组合数导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道结合平行四边形判定与概率计算的综合题，解题思路如下：第一步先计算从4个条件中任选2个的所有等可能的组合总数，注意选条件不分先后顺序，避免重复计数；第二步结合平行四边形的判定定理，逐一判断每种组合能否判定四边形ABCD是平行四边形，统计符合要求的组合数；第三步根据概率公式，用符合条件的组合数除以总组合数即可得到结果。
【解析】
首先计算从4个条件中任选2个的所有等可能情况，列举如下：①②、①③、①④、②③、②④、③④，共6种。
再逐一判断各组合能否判定平行四边形：
1. 选①②：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合判定要求；
2. 选①③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合判定要求；
3. 选①④：$AB// CD$且$AD=BC$时，四边形可能是等腰梯形，无法判定是平行四边形，不符合；
4. 选②③：$AD// BC$且$AB=CD$时，四边形可能是等腰梯形，无法判定是平行四边形，不符合；
5. 选②④：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合判定要求；
6. 选③④：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合判定要求。
综上，符合要求的组合共4种，根据概率公式可得：$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平行四边形的判定、列举法求概率、组合计数
【点评】
本题兼顾了几何性质与概率计算的考查，需要学生熟练掌握平行四边形的判定定理，尤其要注意“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形，避免错算符合条件的组合数导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
9 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子的点数之和为7的概率是
$\frac{1}{6}$
。答案
$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题考查两次试验下的概率计算，解题思路如下：第一步，先确定所有等可能的结果总数：两枚质地均匀的骰子，每枚有6种点数结果，同时抛掷时所有结果都是等可能的，总结果数为6×6=36种；第二步，找出两枚骰子点数之和为7的所有符合条件的结果数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
同时抛掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的点数都有1、2、3、4、5、6共6种可能，因此总共有6×6=36种等可能的结果。
其中两枚骰子点数之和为7的情况有：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6种。
根据概率公式，可得：
$P(\mathrm{点数之和为}7)=\frac{\mathrm{点数和为7的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是准确统计总等可能结果数和符合条件的结果数，解题时要注意两枚骰子的结果是有序的，避免出现漏算或重复计数的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查两次试验下的概率计算，解题思路如下：第一步，先确定所有等可能的结果总数：两枚质地均匀的骰子，每枚有6种点数结果，同时抛掷时所有结果都是等可能的，总结果数为6×6=36种；第二步，找出两枚骰子点数之和为7的所有符合条件的结果数；第三步，利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
同时抛掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的点数都有1、2、3、4、5、6共6种可能，因此总共有6×6=36种等可能的结果。
其中两枚骰子点数之和为7的情况有：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6种。
根据概率公式，可得：
$P(\mathrm{点数之和为}7)=\frac{\mathrm{点数和为7的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 列表法求概率
2. 概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是准确统计总等可能结果数和符合条件的结果数，解题时要注意两枚骰子的结果是有序的，避免出现漏算或重复计数的错误。
【难度系数】
0.8
10 [2025 苏州模拟改编]如图所示为某商业中心地下停车场的平面图，共有 $ A_1,A_2,A_3 $ 三个入口，$ B_1,B_2,B_3,B_4 $ 四个出口，假设顾客选择各个出入口的机会均等.用列表法求某顾客出入地下停车场的出入口数字序号相同的概率.
答案
由题意,列表如下:
| 出口\入口 | $B_1$ | $B_2$ | $B_3$ | $B_4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $A_1$ | $A_1,B_1$ | $A_1,B_2$ | $A_1,B_3$ | $A_1,B_4$ |
| $A_2$ | $A_2,B_1$ | $A_2,B_2$ | $A_2,B_3$ | $A_2,B_4$ |
| $A_3$ | $A_3,B_1$ | $A_3,B_2$ | $A_3,B_3$ | $A_3,B_4$ |
由表可知,共有12种等可能的结果,其中某顾客出入地下停车场的出入口数字序号相同的结果有3种,
∴ 所求概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
| 出口\入口 | $B_1$ | $B_2$ | $B_3$ | $B_4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $A_1$ | $A_1,B_1$ | $A_1,B_2$ | $A_1,B_3$ | $A_1,B_4$ |
| $A_2$ | $A_2,B_1$ | $A_2,B_2$ | $A_2,B_3$ | $A_2,B_4$ |
| $A_3$ | $A_3,B_1$ | $A_3,B_2$ | $A_3,B_3$ | $A_3,B_4$ |
由表可知,共有12种等可能的结果,其中某顾客出入地下停车场的出入口数字序号相同的结果有3种,
∴ 所求概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题是两步试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确选择入口和选择出口是两个独立的步骤，入口共3种等可能选择，出口共4种等可能选择，适合用列表法列举出所有等可能的结果；再从中筛选出“出入口数字序号相同”的结果，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到所求概率。
【解析】
由题意，列表如下:
| 出口\入口 | $B_1$ | $B_2$ | $B_3$ | $B_4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $A_1$ | $A_1,B_1$ | $A_1,B_2$ | $A_1,B_3$ | $A_1,B_4$ |
| $A_2$ | $A_2,B_1$ | $A_2,B_2$ | $A_2,B_3$ | $A_2,B_4$ |
| $A_3$ | $A_3,B_1$ | $A_3,B_2$ | $A_3,B_3$ | $A_3,B_4$ |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中某顾客出入地下停车场的出入口数字序号相同的结果有3种，
∴ 所求概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
列表法求概率；等可能事件；概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题核心是熟练掌握用列表法梳理两步试验所有等可能结果的方法，注意准确识别符合条件的结果，避免漏数、多数即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题是两步试验的概率计算问题，解题思路如下：首先明确选择入口和选择出口是两个独立的步骤，入口共3种等可能选择，出口共4种等可能选择，适合用列表法列举出所有等可能的结果；再从中筛选出“出入口数字序号相同”的结果，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可得到所求概率。
【解析】
由题意，列表如下:
| 出口\入口 | $B_1$ | $B_2$ | $B_3$ | $B_4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $A_1$ | $A_1,B_1$ | $A_1,B_2$ | $A_1,B_3$ | $A_1,B_4$ |
| $A_2$ | $A_2,B_1$ | $A_2,B_2$ | $A_2,B_3$ | $A_2,B_4$ |
| $A_3$ | $A_3,B_1$ | $A_3,B_2$ | $A_3,B_3$ | $A_3,B_4$ |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中某顾客出入地下停车场的出入口数字序号相同的结果有3种，
∴ 所求概率为$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
列表法求概率；等可能事件；概率公式
【点评】
本题属于概率基础题，解题核心是熟练掌握用列表法梳理两步试验所有等可能结果的方法，注意准确识别符合条件的结果，避免漏数、多数即可正确求解。
【难度系数】
0.8
11 在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，小球上分别标注数字1,2,3.现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标.将小球放回布袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标.
（1）写出点M坐标的所有可能的结果；
（2）求点M在直线$y=x$上的概率；
（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.
（1）写出点M坐标的所有可能的结果；
（2）求点M在直线$y=x$上的概率；
（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率.
答案
（1）由题意,列表如下:
| 第二次\第一次 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可知,点M坐标的所有可能的结果有9个:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)
（2）P(点M在直线$y=x$上)=P(点M的横、纵坐标相同)=$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
（3）由(1)中的表可知,P(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数)=$\frac{5}{9}$
| 第二次\第一次 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可知,点M坐标的所有可能的结果有9个:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)
（2）P(点M在直线$y=x$上)=P(点M的横、纵坐标相同)=$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
（3）由(1)中的表可知,P(点M的横坐标与纵坐标之和是偶数)=$\frac{5}{9}$
解析
【分析】
本题属于有放回的两次摸球概率问题，两次摸球结果相互独立，均有3种等可能情况。解题时首先通过列表法不重不漏列举出点M坐标的所有等可能结果；后两问均依据概率公式：某事件发生的概率=该事件对应的符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数，分别找到对应事件的符合条件的结果数代入计算即可。
【解析】
（1）由题意，两次摸球为放回试验，列表如下：
| 第二次\第一次 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可知，点M坐标的所有等可能结果共9个。
（2）点M在直线$y=x$上即横、纵坐标相等，符合条件的点有$(1,1),(2,2),(3,3)$，共3个，因此：
$P(\mathrm{点M在直线}y=x\mathrm{上})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
（3）横坐标与纵坐标之和为偶数的点有$(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)$，共5个，因此：
$P(\mathrm{点M的横坐标与纵坐标之和是偶数})=\frac{5}{9}$
【答案】
（1）$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)$；
（2）$\frac{1}{3}$；
（3）$\frac{5}{9}$
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式；放回试验概率
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查两次独立放回试验的概率求解，解题核心是通过列表法准确枚举所有等可能结果，再找准对应事件的符合条件结果数代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
本题属于有放回的两次摸球概率问题，两次摸球结果相互独立，均有3种等可能情况。解题时首先通过列表法不重不漏列举出点M坐标的所有等可能结果；后两问均依据概率公式：某事件发生的概率=该事件对应的符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数，分别找到对应事件的符合条件的结果数代入计算即可。
【解析】
（1）由题意，两次摸球为放回试验，列表如下：
| 第二次\第一次 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可知，点M坐标的所有等可能结果共9个。
（2）点M在直线$y=x$上即横、纵坐标相等，符合条件的点有$(1,1),(2,2),(3,3)$，共3个，因此：
$P(\mathrm{点M在直线}y=x\mathrm{上})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
（3）横坐标与纵坐标之和为偶数的点有$(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)$，共5个，因此：
$P(\mathrm{点M的横坐标与纵坐标之和是偶数})=\frac{5}{9}$
【答案】
（1）$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)$；
（2）$\frac{1}{3}$；
（3）$\frac{5}{9}$
【知识点】
列表法求概率；概率计算公式；放回试验概率
【点评】
本题是概率基础题型，重点考查两次独立放回试验的概率求解，解题核心是通过列表法准确枚举所有等可能结果，再找准对应事件的符合条件结果数代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
