21. (12 分)如图,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AB$ 的垂直平分线交 $BC$ 于点 $D$。
(1)求 $\angle ADC$ 的度数；
(2)求证：$DC = 2DB$。

答题卡
(1) 解：
由于 $AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，根据等腰三角形的性质，有：
$\angle B = \angle C = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$，
由于 $DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线，根据线段的垂直平分线性质，得 $AD = BD$，
所以 $\angle BAD = \angle B = 30^{\circ}$，
因此，$\angle ADC = \angle BAD + \angle B = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
(2) 证明：
由于 $\angle ADC = 60^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，
根据三角形内角和为 $180^{\circ}$，得 $\angle DAC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$，
在直角三角形 $ADC$ 中，由于 $\angle C = 30^{\circ}$，根据$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，
得 $DC = 2AD$，
由于 $AD = BD$，所以 $DC = 2DB$。

22. (12 分)如图,已知点 $C(1,0)$,直线 $y = -x + 7$ 与两坐标轴分别交于 $A$,$B$ 两点,$D$,$E$ 分别是 $AB$,$OA$ 上的动点,求 $\triangle CDE$ 周长的最小值。

解：
1. 求关键点坐标：
直线$y=-x+7$与坐标轴交于$A$、$B$两点，
令$x=0$，得$y=7$，则$A(0,7)$；令$y=0$，得$x=7$，则$B(7,0)$。
已知$C(1,0)$。
2. 作对称点：
点$C(1,0)$关于$OA$（$y$轴）对称，得$C'(-1,0)$（因关于$y$轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变）。
求点$C(1,0)$关于直线$AB$（$y=-x+7$）的对称点$C''$：
设$C''(a,b)$，直线$AB$：$x+y-7=0$，
由对称性质：
① 中点$\left(\frac{1+a}{2},\frac{0+b}{2}\right)$在$AB$上：$\frac{1+a}{2}+\frac{b}{2}=7\Rightarrow a+b=13$；
② $CC''$与$AB$垂直，斜率乘积为$-1$：$\frac{b-0}{a-1}=1\Rightarrow b=a-1$。
联立解得$a=7$，$b=6$，即$C''(7,6)$。
3. 求周长最小值：
$\triangle CDE$周长$=CD+DE+EC$，
由对称性质：$EC=EC'$（$E$在$OA$上），$CD=C''D$（$D$在$AB$上），
故周长$=CD+DE+EC=C''D+DE+EC'\geq C''C'$（当$D$、$E$分别为$C''C'$与$AB$、$OA$的交点时取等号）。
4. 计算$C''C'$长度：
$C'(-1,0)$，$C''(7,6)$，
$C''C'=\sqrt{(7-(-1))^2+(6-0)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$。
结论：$\triangle CDE$周长的最小值为$\boxed{10}$。