*11. (★★)如图 24.2 - 26,PA,PB是⊙O的切线,AC是⊙O直径,∠C = 55°,则∠APB等于【】

A.55°
B.60°
C.65°
D.70°

D

连接OB。
∵AC是直径，∠C=55°，OA=OC，
∴∠OAC=∠C=55°，∠AOC=180°-2×55°=70°。
∵PA、PB是切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，∠OAP=∠OBP=90°。
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∠AOP=∠BOP。
∵∠AOC=70°，
∴∠AOB=180°-∠AOC=110°（此处修正：∠AOC与∠AOB互补错误，应为∠AOB=∠AOC=70°，因为B在圆上，∠C=∠ABC=55°，∠AOB=2∠C=110°）。
∴∠AOP=∠BOP=55°。
在Rt△OAP中，∠APO=90°-55°=35°。
∴∠APB=2∠APO=70°。

*12. (★★)如图 24.2 - 27,已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则图中阴影部分的面积为.

$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$

1. 等边三角形ABC边长为2，面积$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$；
2. 内切圆半径$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$（由面积法$S_{\triangle ABC}=r×\frac{2+2+2}{2}$得$\sqrt{3}=3r$，解得$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
3. 内切圆面积$S_{\odot O}=\pi r^2=\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=\frac{\pi}{3}$；
4. 阴影面积$S_{阴影}=S_{\triangle ABC}-S_{\odot O}=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$。

13. (★★)如图 24.2 - 28,在△ABC中,AC = 3,BC = 4,∠C = 90°,⊙O为△ABC的内切圆,与三边的切点分别为D,E,F,则⊙O的面积为.(结果保留π)

$\pi$

根据题意，设内切圆半径为$r$。
已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$AC = 3$，$BC = 4$，根据勾股定理可得$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
根据三角形内切圆半径公式r=\dfrac{a + b - c（这里a,b为直角边，c为斜边）的另一种（对于直角三角形内切圆半径r=\frac{AC + BC-AB}{2}（推导可根据三角形面积的不同表示方法得出），可得$r=\dfrac{3 + 4 - 5}{2}=1$。
根据圆的面积公式$S=\pi r^{2}$，可得内切圆$\odot O$的面积$S = \pi×1^{2}=\pi$。

*14. (★★)三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值,很多数学家给出了不同形式的计算公式. 在文明古国古希腊,数学家海伦给出了求三角形面积的一个公式——海伦公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记$p= \frac{a + b + c}{2}$,那么其面积$S= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.如图24.2 - 29,在△ABC中,BC = 4,AC = 5,AB = 7.
(1)请用海伦公式求△ABC的面积;
(2)求△ABC的内切圆半径.

(1)已知BC=a=4，AC=b=5，AB=c=7，
则$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+5+7}{2}=8$，
由海伦公式得$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8×(8-4)×(8-5)×(8-7)}=\sqrt{8×4×3×1}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
(2)设△ABC的内切圆半径为r，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$，
即$4\sqrt{6}=\frac{1}{2}×(4+5+7)r$，
解得$r=\frac{4\sqrt{6}}{8}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
(1)$4\sqrt{6}$；(2)$\frac{\sqrt{6}}{2}$

15. (★★)(2020·河南)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而"利用尺规作图三等分一个任意角"曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的. 人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器. 图24.2 - 30①是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长.
使用方法如图24.2 - 30②所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了.
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明. 如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出证明过程.

已知:如图24.2 - 30②,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B,.
求证:.
证明：

已知: AB=OB，点A在EM上，半圆O与EN相切于点F。
求证: ∠MEB=∠BEO=∠OEN。
证明：设∠MEB=∠1，∠BEO=∠2，∠OEN=∠3。
∵EB⊥AC，∴∠EBA=∠EBO=90°。
∵AB=OB，EB=EB，∴Rt△EBA≌Rt△EBO（HL）。∴∠1=∠2。
∵半圆O与EN相切于F，∴OF⊥EN（切线性质），即∠OFE=90°。
∵OB=OF（半径相等），EO=EO，∴Rt△EBO≌Rt△EFO（HL）。∴∠2=∠3。
∴∠1=∠2=∠3，即EB，EO把∠MEN三等分。