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3. (★★) 如图 $24 - 16$,已知 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$PB$ 是 $\odot O$ 的切线,$PA$ 交 $\odot O$ 于 $C$,$AB = 3\mathrm{cm}$,$PB = 4\mathrm{cm}$,则 $BC = $
12/5 cm
。答案
12/5 cm
解析
∵PB是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠ABP=90°。在Rt△ABP中，AB=3cm，PB=4cm，由勾股定理得PA=√(AB²+PB²)=√(3²+4²)=5cm。
∵AB是直径，C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，即BC⊥PA。由S△ABP=1/2×AB×PB=1/2×PA×BC，得1/2×3×4=1/2×5×BC，解得BC=12/5 cm。
4. (★★) 如图 $24 - 17$,$AB$ 切 $\odot O$ 于点 $A$,$BO$ 交 $\odot O$ 于点 $C$,点 $D$ 是 $\overset{\frown}{CMA}$ 上异于点 $C$,$A$ 的一点,若 $\angle ABO = 32^{\circ}$,则 $\angle ADC$ 的度数是
29°
。答案
29°
解析
连接OA，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，∠OAB=90°。在Rt△OAB中，∠ABO=32°，
∴∠AOB=90°-32°=58°。∠AOB为圆心角，所对劣弧AC的度数为58°。点D在优弧CMA上，∠ADC为圆周角，所对弧为劣弧AC，
∴∠ADC=1/2∠AOB=1/2×58°=29°。
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，∠OAB=90°。在Rt△OAB中，∠ABO=32°，
∴∠AOB=90°-32°=58°。∠AOB为圆心角，所对劣弧AC的度数为58°。点D在优弧CMA上，∠ADC为圆周角，所对弧为劣弧AC，
∴∠ADC=1/2∠AOB=1/2×58°=29°。
*5. (★★) (2023·杭州) 如图 $24 - 18$,$PA$,$PB$ 是 $\odot O$ 的切线,切点分别是点 $A$ 和点 $B$,$AC$ 是 $\odot O$ 的直径。若 $\angle P = 60^{\circ}$,$BC = 2$,则 $PA$ 的长为
2√3
。答案
2√3
解析
连接OB，∵PA、PB是⊙O切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°。∵∠P=60°，∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°。
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=(180°-120°)/2=30°。
∵AC是直径，∴∠ABC=90°（直径所对圆周角是直角）。
设⊙O半径为r，则AC=2r。在Rt△ABC中，∠BAC=∠OAB=30°（OA=OC，∠OAC=∠OCA，∠OAB=30°），BC=2，∴cos∠BAC=AB/AC，sin∠BAC=BC/AC。
sin30°=BC/AC=2/(2r)=1/2，解得r=2，∴OA=2。
在Rt△OAP中，∠AOP=∠AOB/2=60°，tan∠AOP=PA/OA，∴PA=OA·tan60°=2×√3=2√3。
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=(180°-120°)/2=30°。
∵AC是直径，∴∠ABC=90°（直径所对圆周角是直角）。
设⊙O半径为r，则AC=2r。在Rt△ABC中，∠BAC=∠OAB=30°（OA=OC，∠OAC=∠OCA，∠OAB=30°），BC=2，∴cos∠BAC=AB/AC，sin∠BAC=BC/AC。
sin30°=BC/AC=2/(2r)=1/2，解得r=2，∴OA=2。
在Rt△OAP中，∠AOP=∠AOB/2=60°，tan∠AOP=PA/OA，∴PA=OA·tan60°=2×√3=2√3。
6. (★★) 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 5$,内切圆半径为 $1$,则这个三角形的周长为
12
。答案
12
解析
设$AC = b$，$BC = a$，$AB = c = 5$，内切圆半径$r = 1$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a + b-c}{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$1=\frac{a + b - 5}{2}$，即$a + b-5 = 2$，所以$a + b=7$。
三角形的周长为$a + b + c=7 + 5=12$。
根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a + b-c}{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$1=\frac{a + b - 5}{2}$，即$a + b-5 = 2$，所以$a + b=7$。
三角形的周长为$a + b + c=7 + 5=12$。
7. (★★) 如图 $24 - 19$,已知在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 6$,$BC = 8$,$AC = 10$。
(1) 求作：$\triangle ABC$ 的外接圆 $\odot O_1$,则外接圆 $\odot O_1$ 的半径 $r_1$ 为
(2) 求作：$\triangle ABC$ 的内切圆 $\odot O_2$,则内切圆 $\odot O_2$ 的半径 $r_2$ 为
(1) 求作：$\triangle ABC$ 的外接圆 $\odot O_1$,则外接圆 $\odot O_1$ 的半径 $r_1$ 为
5
。(保留作图痕迹)(2) 求作：$\triangle ABC$ 的内切圆 $\odot O_2$,则内切圆 $\odot O_2$ 的半径 $r_2$ 为
2
。(保留作图痕迹)答案
(1) 因为 $AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = AC^2$，所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle B = 90°$。
对于直角三角形，其外接圆的半径 $r_1$ 等于斜边的一半，即 $r_1 = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$。
答案：$r_1 = 5$。
(2) 内切圆的半径 $r_2$ 可以用公式 $r_2 = \frac{2 × 面积}{ 周长}$ 计算。
$\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
$\triangle ABC$ 的周长为 $AB + BC + AC = 6 + 8 + 10 = 24$。
所以 $r_2 = \frac{2 × 24}{24} = 2$。
答案：$r_2 = 2$。
8. (★★) 若 $\odot O$ 所在平面内一点 $P$ 到 $\odot O$ 上的点的最大距离为 $a$,最小距离为 $b(a ＞ b)$,则此圆的半径为
$\frac{a + b}{2}$或$\frac{a - b}{2}$
。答案
$\frac{a + b}{2}$或$\frac{a - b}{2}$
解析
当点P在⊙O内时，最大距离a与最小距离b之和为直径，即$a + b = 2r$，则$r = \frac{a + b}{2}$；当点P在⊙O外时，最大距离a与最小距离b之差为直径，即$a - b = 2r$，则$r = \frac{a - b}{2}$。
9. (★★) 已知在平面直角坐标系中,以点 $P(1, 2)$ 为圆心,$r$ 为半径画圆,$\odot P$ 与坐标轴恰好有三个交点,那么 $r$ 的值是
2或$\sqrt{5}$
。答案
$2$或$\sqrt{5}$
解析
圆心$P(1,2)$到$x$轴距离为$2$，到$y$轴距离为$1$。
情况1：圆与$x$轴相切（1个交点），与$y$轴相交（2个交点）。此时半径$r$等于圆心到$x$轴距离，即$r=2$。
情况2：圆经过原点，此时原点为坐标轴交点，且与$x$轴、$y$轴各有一个不同于原点的交点。原点到$P$的距离$r=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$。此时圆与$x$轴交于$(0,0)$和$(2,0)$，与$y$轴交于$(0,0)$和$(0,4)$，共3个交点。
综上，$r=2$或$\sqrt{5}$。
情况1：圆与$x$轴相切（1个交点），与$y$轴相交（2个交点）。此时半径$r$等于圆心到$x$轴距离，即$r=2$。
情况2：圆经过原点，此时原点为坐标轴交点，且与$x$轴、$y$轴各有一个不同于原点的交点。原点到$P$的距离$r=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$。此时圆与$x$轴交于$(0,0)$和$(2,0)$，与$y$轴交于$(0,0)$和$(0,4)$，共3个交点。
综上，$r=2$或$\sqrt{5}$。
10. (★) 在数轴上,点 $A$ 所表示的实数为 $3$,点 $B$ 所表示的实数为 $a$,$\odot A$ 的半径为 $2$,下列说法不正确的是【
A.当 $a ＜ 5$ 时,点 $B$ 在 $\odot A$ 内
B.当 $1 ＜ a ＜ 5$ 时,点 $B$ 在 $\odot A$ 内
C.当 $a ＜ 1$ 时,点 $B$ 在 $\odot A$ 外
D.当 $a ＞ 5$ 时,点 $B$ 在 $\odot A$ 外
A
】A.当 $a ＜ 5$ 时,点 $B$ 在 $\odot A$ 内
B.当 $1 ＜ a ＜ 5$ 时,点 $B$ 在 $\odot A$ 内
C.当 $a ＜ 1$ 时,点 $B$ 在 $\odot A$ 外
D.当 $a ＞ 5$ 时,点 $B$ 在 $\odot A$ 外
答案
A
解析
点$A$表示的实数为$3$，$\odot A$的半径为$2$。
根据圆的定义，$\odot A$在数轴上的覆盖范围为$(3-2, 3+2) = (1, 5)$，即点$B$在$\odot A$内当且仅当$1 ＜ a ＜ 5$。
A选项：当$a ＜ 5$时，$a$的取值范围包括$a \leq 1$的情况，此时点$B$不在$\odot A$内，因此A选项说法不正确。
B选项：当$1 ＜ a ＜ 5$时，点$B$确实在$\odot A$内，所以B选项说法正确。
C选项：当$a ＜ 1$时，点$B$确实在$\odot A$外，所以C选项说法正确。
D选项：当$a ＞ 5$时，点$B$确实在$\odot A$外，所以D选项说法正确。
根据圆的定义，$\odot A$在数轴上的覆盖范围为$(3-2, 3+2) = (1, 5)$，即点$B$在$\odot A$内当且仅当$1 ＜ a ＜ 5$。
A选项：当$a ＜ 5$时，$a$的取值范围包括$a \leq 1$的情况，此时点$B$不在$\odot A$内，因此A选项说法不正确。
B选项：当$1 ＜ a ＜ 5$时，点$B$确实在$\odot A$内，所以B选项说法正确。
C选项：当$a ＜ 1$时，点$B$确实在$\odot A$外，所以C选项说法正确。
D选项：当$a ＞ 5$时，点$B$确实在$\odot A$外，所以D选项说法正确。
11. (★) 已知点 $A$ 不在半径为 $5\mathrm{cm}$ 的 $\odot O$ 内,则点 $A$ 与点 $O$ 之间的距离 $d$ 的取值范围是【
A.$d = 5\mathrm{cm}$
B.$d ＞ 5\mathrm{cm}$
C.$d \geq 5\mathrm{cm}$
D.$d ＜ 5\mathrm{cm}$
C
】A.$d = 5\mathrm{cm}$
B.$d ＞ 5\mathrm{cm}$
C.$d \geq 5\mathrm{cm}$
D.$d ＜ 5\mathrm{cm}$
答案
C
解析
点 $A$ 不在半径为 $5\mathrm{cm}$ 的 $\odot O$ 内，意味着点 $A$ 要么在 $\odot O$ 上，要么在 $\odot O$ 外。若点 $A$ 在 $\odot O$ 上，则 $d = 5\mathrm{cm}$；若点 $A$ 在 $\odot O$ 外，则 $d ＞ 5\mathrm{cm}$。因此，点 $A$ 与点 $O$ 之间的距离 $d$ 的取值范围是 $d \geq 5\mathrm{cm}$。
12. (★★) 如图 $24 - 20$,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,$D$ 为 $AB$ 的中点,以 $D$ 为圆心,$2$ 为半径作 $\odot D$,则下列说法不正确的是【
A.点 $A$ 在圆外
B.点 $C$ 在圆上
C.$\odot D$ 与直线 $AC$ 相切
D.$\odot D$ 与直线 $BC$ 相交
B
】A.点 $A$ 在圆外
B.点 $C$ 在圆上
C.$\odot D$ 与直线 $AC$ 相切
D.$\odot D$ 与直线 $BC$ 相交
答案
B
解析
以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系，则C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)。D为AB中点，坐标为(2, 3/2)，⊙D半径r=2。
A：AD=√[(2-0)²+(3/2-3)²]=√[4+9/4]=5/2=2.5＞2，点A在圆外，正确。
B：CD=√[(2-0)²+(3/2-0)²]=5/2=2.5＞2，点C在圆外，错误。
C：直线AC为x=0，D到AC距离=2=r，相切，正确。
D：直线BC为y=0，D到BC距离=3/2=1.5＜2，相交，正确。
A：AD=√[(2-0)²+(3/2-3)²]=√[4+9/4]=5/2=2.5＞2，点A在圆外，正确。
B：CD=√[(2-0)²+(3/2-0)²]=5/2=2.5＞2，点C在圆外，错误。
C：直线AC为x=0，D到AC距离=2=r，相切，正确。
D：直线BC为y=0，D到BC距离=3/2=1.5＜2，相交，正确。
