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1. 若方程$\frac{x}{x^{2}+m}=\frac{2}{x - 3m}$有一个解是$x = 1$，则$m$的值是().
A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{5}$
A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{5}$
答案
D
解析
将$x=1$代入方程$\frac{x}{x^{2}+m}=\frac{2}{x-3m}$，得到：
$\frac{1}{1+m}=\frac{2}{1-3m}$，
交叉相乘，得到：
$1×(1-3m)=2×(1+m)$，
$1-3m=2+2m$，
移项并合并同类项，得到：
$-5m=1$，
系数化为$1$，得到：
$m=-\frac{1}{5}$，
检验：当$m=-\frac{1}{5}$时，$x^{2}+m=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\neq0$，$x-3m=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}\neq0$，
所以，$m=-\frac{1}{5}$是方程的解。
$\frac{1}{1+m}=\frac{2}{1-3m}$，
交叉相乘，得到：
$1×(1-3m)=2×(1+m)$，
$1-3m=2+2m$，
移项并合并同类项，得到：
$-5m=1$，
系数化为$1$，得到：
$m=-\frac{1}{5}$，
检验：当$m=-\frac{1}{5}$时，$x^{2}+m=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\neq0$，$x-3m=1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}\neq0$，
所以，$m=-\frac{1}{5}$是方程的解。
2. 已知$x = - 5$是分式方程$\frac{5}{x + m}=\frac{3}{x}$的解，则$m$的值为.
答案
$-\frac{10}{3}$
解析
将$x = -5$代入分式方程$\frac{5}{x + m}=\frac{3}{x}$，得$\frac{5}{-5 + m}=\frac{3}{-5}$。交叉相乘得$3(-5 + m)=5×(-5)$，即$-15 + 3m = -25$。移项得$3m = -25 + 15$，$3m = -10$，解得$m=-\frac{10}{3}$。
3. 若关于$x$的分式方程$\frac{x + m}{x - 2}-\frac{5}{x}=1$的解与分式方程$\frac{x}{x - 2}-\frac{8}{x^{2}-2x}=1$的解相同，求$m$的值.
答案
首先解第二个分式方程 $\frac{x}{x - 2} - \frac{8}{x^{2} - 2x} = 1$。
将方程两边都乘以最简公分母 $x(x - 2)$，得到：
$x^{2} - 8 = x(x - 2)$
$x^{2} - 8 = x^{2} - 2x$
解得 $x = 4$。
检验：当 $x = 4$ 时，最简公分母 $x(x - 2) = 4 × 2 = 8 \neq 0$，所以 $x = 4$ 是原方程的解。
接下来，将 $x = 4$ 代入第一个分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} - \frac{5}{x} = 1$ 中。
$\frac{4 + m}{4 - 2} - \frac{5}{4} = 1$
$\frac{4 + m}{2} = \frac{9}{4}$
$4 + m = \frac{9}{2}$
解得 $m = \frac{1}{2}$。
所以，$m$ 的值为 $\frac{1}{2}$。
将方程两边都乘以最简公分母 $x(x - 2)$，得到：
$x^{2} - 8 = x(x - 2)$
$x^{2} - 8 = x^{2} - 2x$
解得 $x = 4$。
检验：当 $x = 4$ 时，最简公分母 $x(x - 2) = 4 × 2 = 8 \neq 0$，所以 $x = 4$ 是原方程的解。
接下来，将 $x = 4$ 代入第一个分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} - \frac{5}{x} = 1$ 中。
$\frac{4 + m}{4 - 2} - \frac{5}{4} = 1$
$\frac{4 + m}{2} = \frac{9}{4}$
$4 + m = \frac{9}{2}$
解得 $m = \frac{1}{2}$。
所以，$m$ 的值为 $\frac{1}{2}$。
4. 已知关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 3}-\frac{3a}{3 - x}=4$的解为非负数，则$a$的取值范围是().
A.$a\geq - 4$
B.$a ＞ - 4$
C.$a\geq - 4$且$a\neq - 1$
D.$a ＞ - 4$且$a\neq - 1$
A.$a\geq - 4$
B.$a ＞ - 4$
C.$a\geq - 4$且$a\neq - 1$
D.$a ＞ - 4$且$a\neq - 1$
答案
C
解析
原方程变形为$\frac{x}{x-3}+\frac{3a}{x-3}=4$，合并得$\frac{x+3a}{x-3}=4$，两边乘$x-3$得$x+3a=4(x-3)$，解得$x=a+4$。
∵解为非负数，∴$a+4\geq0$即$a\geq-4$。
∵分母不为0，∴$x-3\neq0$即$a+4\neq3$，得$a\neq-1$。
综上，$a\geq-4$且$a\neq-1$。
∵解为非负数，∴$a+4\geq0$即$a\geq-4$。
∵分母不为0，∴$x-3\neq0$即$a+4\neq3$，得$a\neq-1$。
综上，$a\geq-4$且$a\neq-1$。
5. 关于$x$的方程$\frac{1}{x - 2}+\frac{a - 2}{2 - x}=1$的解是负数，则$a$的取值范围是().
A.$a ＞ 5$
B.$a ＜ 5$
C.$a ＞ 5$且$a\neq 6$
D.$a ＜ 5$且$a\neq 3$
A.$a ＞ 5$
B.$a ＜ 5$
C.$a ＞ 5$且$a\neq 6$
D.$a ＜ 5$且$a\neq 3$
答案
A
解析
方程两边同乘$(x-2)$，得$1-(a-2)=x-2$，化简得$3-a=x-2$，解得$x=5-a$。
∵方程的解是负数，∴$5-a＜0$，即$a＞5$。
∵分母不能为零，∴$x≠2$，即$5-a≠2$，解得$a≠3$。
∵$a＞5$时，$a≠3$恒成立，∴$a$的取值范围是$a＞5$。
∵方程的解是负数，∴$5-a＜0$，即$a＞5$。
∵分母不能为零，∴$x≠2$，即$5-a≠2$，解得$a≠3$。
∵$a＞5$时，$a≠3$恒成立，∴$a$的取值范围是$a＞5$。
6. 若关于$x$的分式方程$\frac{6}{x - 1}=\frac{x + 3}{x(x - 1)}-\frac{k}{x}$无解，则$k$的取值是().
A.$- 3$
B.$- 3$或$- 5$
C.$1$
D.$1$或$- 5$
A.$- 3$
B.$- 3$或$- 5$
C.$1$
D.$1$或$- 5$
答案
B
解析
方程两边乘$x(x - 1)$得：$6x = x + 3 - k(x - 1)$，化简得$(5 + k)x = k + 3$。分式方程无解分两种情况：①整式方程无解，即$5 + k = 0$且$k + 3 ≠ 0$，解得$k = -5$；②整式方程的解为增根，增根为$x = 0$或$x = 1$。当$x = 0$时，代入$(5 + k)×0 = k + 3$得$k = -3$；当$x = 1$时，方程$5 + k = k + 3$无解。综上，$k = -3$或$-5$。
7. 关于$x$的分式方程$\frac{3}{x}+\frac{6}{x - 1}-\frac{x + k}{x(x - 1)}=0$有解，则$k$的取值范围是.
答案
（这里假设选项中正确的是体现$k\neq - 3$且$k\neq5$的选项）根据实际选项填写对应字母
解析
首先将分式方程化为整式方程，方程$\frac{3}{x}+\frac{6}{x - 1}-\frac{x + k}{x(x - 1)} = 0$两边同乘$x(x - 1)$得：
$3(x - 1)+6x-(x + k)=0$
去括号得：$3x-3 + 6x-x - k = 0$
合并同类项得：$8x-3 - k = 0$
移项可得：$8x=k + 3$
解得：$x=\frac{k + 3}{8}$
因为原分式方程有解，所以$x\neq0$且$x\neq1$，即$\frac{k + 3}{8}\neq0$且$\frac{k + 3}{8}\neq1$
由$\frac{k + 3}{8}\neq0$得$k+3\neq0$，$k\neq - 3$
由$\frac{k + 3}{8}\neq1$得$k + 3\neq8$，$k\neq5$
所以$k$的取值范围是$k\neq - 3$且$k\neq5$
$3(x - 1)+6x-(x + k)=0$
去括号得：$3x-3 + 6x-x - k = 0$
合并同类项得：$8x-3 - k = 0$
移项可得：$8x=k + 3$
解得：$x=\frac{k + 3}{8}$
因为原分式方程有解，所以$x\neq0$且$x\neq1$，即$\frac{k + 3}{8}\neq0$且$\frac{k + 3}{8}\neq1$
由$\frac{k + 3}{8}\neq0$得$k+3\neq0$，$k\neq - 3$
由$\frac{k + 3}{8}\neq1$得$k + 3\neq8$，$k\neq5$
所以$k$的取值范围是$k\neq - 3$且$k\neq5$
8. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{3x + 5}{4}\leq\frac{x + 3}{2},\\x + \frac{1}{2}＞\frac{x + a}{2}\end{cases}$无解，且关于$y$的分式方程$\frac{5 - ay}{2 - y}-1=\frac{3}{y - 2}$有整数解，则满足条件的整数$a$的值为( ).
A.$2$或$3$
B.$2$或$7$
C.$3$或$7$
D.$2$或$3$或$7$
A.$2$或$3$
B.$2$或$7$
C.$3$或$7$
D.$2$或$3$或$7$
答案
D
解析
解不等式组：
解$\frac{3x + 5}{4}\leq\frac{x + 3}{2}$，得$x\leq1$；
解$x + \frac{1}{2}＞\frac{x + a}{2}$，得$x＞a - 1$。
不等式组无解，则$a - 1\geq1$，即$a\geq2$。
解分式方程$\frac{5 - ay}{2 - y}-1=\frac{3}{y - 2}$：
去分母得$-(5 - ay)-(y - 2)=3$，化简得$(a - 1)y=6$，$y=\frac{6}{a - 1}$；
需$y\neq2$且为整数，即$\frac{6}{a - 1}\neq2$且$a - 1$为6的因数。
$a - 1\in\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}$，则$a\in\{2,0,3,-1,4,-2,7,-5\}$。
结合$a\geq2$且$a\neq4$，得$a=2,3,7$。
解$\frac{3x + 5}{4}\leq\frac{x + 3}{2}$，得$x\leq1$；
解$x + \frac{1}{2}＞\frac{x + a}{2}$，得$x＞a - 1$。
不等式组无解，则$a - 1\geq1$，即$a\geq2$。
解分式方程$\frac{5 - ay}{2 - y}-1=\frac{3}{y - 2}$：
去分母得$-(5 - ay)-(y - 2)=3$，化简得$(a - 1)y=6$，$y=\frac{6}{a - 1}$；
需$y\neq2$且为整数，即$\frac{6}{a - 1}\neq2$且$a - 1$为6的因数。
$a - 1\in\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}$，则$a\in\{2,0,3,-1,4,-2,7,-5\}$。
结合$a\geq2$且$a\neq4$，得$a=2,3,7$。
