10. 如图,$D是Rt\triangle ABC直角边AC$上一点,若过$D点的直线交AB于点E$,使得到的三角形与原三角形相似,则这样的直线有()

A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

解答过程：
原三角形为 $Rt\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$D$ 为直角边 $AC$ 上一点，过 $D$ 作直线交 $AB$ 于 $E$，使所得三角形与 $\triangle ABC$ 相似，分两种情况：
1. 过 $D$ 作 $DE // BC$ 交 $AB$ 于 $E$：
由 $DE // BC$，得 $\angle ADE = \angle C = 90^\circ$（两直线平行，同位角相等）。
又 $\angle A$ 为公共角，故 $\triangle ADE \sim \triangle ACB$（$AA$ 相似）。
2. 过 $D$ 作 $DE \perp AB$ 交 $AB$ 于 $E$：
此时 $\angle AED = \angle C = 90^\circ$，且 $\angle A$ 为公共角，故 $\triangle AED \sim \triangle ACB$（$AA$ 相似）。
综上，满足条件的直线有 2 条。
结论：
$\boxed{B}$

11. 如图,在正方形$ABCD和正方形OEFG$中,点$A和点F的坐标分别为(3,2)$,$(-1,-1)$,则两个正方形的位似中心的坐标是.

1. 确定正方形顶点坐标：
正方形ABCD：由A(3,2)及图形位置，得B(3,0)，C(5,0)，D(5,2)（边BC在x轴，AB⊥BC，边长2）。
正方形OEFG：O(0,0)，E(0,-1)，G(-1,0)，F(-1,-1)（OE在y轴负半轴，OG在x轴负半轴，边长1）。
2. 确定对应顶点及位似中心：
对应顶点：B(3,0)↔O(0,0)，C(5,0)↔G(-1,0)，A(3,2)↔E(0,-1)，D(5,2)↔F(-1,-1)。
位似中心在x轴上，设为P(h,0)，由位似比相等：$\frac{PO}{PB}=\frac{PG}{PC}$。
代入坐标：$\frac{|h|}{|h-3|}=\frac{|h+1|}{|h-5|}$，解得h=1。
3. 验证：
对应点连线BO、CG、AE、DF均过点(1,0)，位似比为$\frac{1}{2}$。
(1,0)

12. 假设电视机屏幕为矩形.“某个电视机屏幕大小是$64\ cm$”的含义是矩形对角线长为$64\ cm$.如图,若该电视机屏幕$ABCD$中,$\frac{CD}{BC}= 0.6$,则电视机屏幕的高$CD$为$cm$.(精确到$1\ cm$)

33

设$CD=x$ cm，因为$\frac{CD}{BC}=0.6$，所以$BC=\frac{x}{0.6}=\frac{5x}{3}$cm。
在矩形$ABCD$中，$\angle D = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，已知对角线$AC = 64$cm，即$64^{2}=x^{2}+(\frac{5x}{3})^{2}$。
展开式子得$4096=x^{2}+\frac{25x^{2}}{9}$，通分得到$4096=\frac{9x^{2}+25x^{2}}{9}=\frac{34x^{2}}{9}$。
则$x^{2}=\frac{4096×9}{34}=\frac{36864}{34}\approx1084.24$，解得$x=\sqrt{1084.24}\approx33$cm。

13. 在$\triangle ABC$中$,AB = AC,\angle A= 36^{\circ},$以点A为位似中心,把$\triangle ABC$放大2倍后得$\triangle AB'C',$则$\angle B'= $.

$72^\circ$

1. 已知在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 36^\circ$。
2. 由于$AB = AC$，根据等腰三角形的性质，$\angle B = \angle C$。
3. 利用三角形内角和为$180^\circ$，计算$\angle B$和$\angle C$：
$\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle A}{2} = \frac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ$
4. 以点$A$为位似中心，把$\triangle ABC$放大2倍后得到$\triangle AB'C'$。
5. 根据位似变换的性质，$\triangle ABC$和$\triangle AB'C'$是相似三角形，因此对应角相等。
6. 所以，$\angle B' = \angle B = 72^\circ$。

14. 如图①,在$\triangle ABC$中,$EF// BC$,$BF和CE交于点M$.若$S_{\triangle MFE}:S_{\triangle BMC}= 4:25$,则$AE:BE= $.

∵EF//BC，
∴∠MEF=∠MCB，∠MFE=∠MBC（两直线平行，内错角相等），
∴△MFE∽△BMC（AA相似）。
∵S△MFE:S△BMC=4:25，
∴相似比EF:BC=√(4/25)=2:5（相似三角形面积比等于相似比的平方）。
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB（两直线平行，同位角相等），
∴△AEF∽△ABC（AA相似），
∴AE:AB=EF:BC=2:5（相似三角形对应边成比例）。
设AE=2k，AB=5k，则BE=AB-AE=5k-2k=3k，
∴AE:BE=2k:3k=2:3。
2:3

15. 如图②,$\triangle ABC的边AB上有一点D$,边$BC的延长线上有一点E$,且$AD = CE$,$DE交AC于F$.若$BC = 6$,$EF = 4$,则$AB\cdot DF= $.

过点$D$作$DG // BC$交$AC$于$G$。
因为$DG // BC$，
所以$\angle DGF=\angle ECF$，$\angle GDF=\angle FEC$，
根据相似三角形的性质：如果两个三角形的两个角分别对应相等，‌那么这两个三角形相似，
所以$\triangle DGF\sim\triangle ECF$，
所以$\frac{DF}{EF}=\frac{DG}{EC}$，
因为$DG // BC$，
所以$\angle DGA=\angle BCA$，$\angle ADG=\angle B$，
根据相似三角形的性质：如果两个三角形的两个角分别对应相等，‌那么这两个三角形相似，
所以$\triangle ADG\sim\triangle ABC$，
所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DG}{BC}$，
因为$AD=CE$，
所以$\frac{DF}{EF}=\frac{DG}{AD}=\frac{DG}{AB}×\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AB}×\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AB}×\frac{AB}{CE}$，
所以$\frac{DF}{EF}=\frac{BC}{CE} × \frac{AD}{AB}=\frac{BC}{AB}$，
代入数据得：
$\frac{DF}{4} = \frac{6}{AB}$，
$AB\cdot DF= 6 × 4 = 24$。
故答案为：$24$。

16. 有一块三角形铁片$ABC$,已知最长边$BC = 12\ cm$,高$AD = 8\ cm$,要把它加工成一个矩形铁片,使矩形的一边在$BC$上,其余两个顶点分别在$AB$,$AC$上,且矩形的长是宽的$2$倍.则加工成的铁片的面积为多少平方厘米?

$ 18 $或$ \frac{1152}{49} $。

分两种情况讨论：
情况1：设矩形的宽为$ x \, cm $，长为$ 2x \, cm $，且长在$ BC $上。
∵四边形$ EFGH $是矩形，∴$ HG // BC $，$ \triangle AHG \sim \triangle ABC $。
$ \triangle AHG $的高为$ AD - x = 8 - x $，相似比为$ \frac{8 - x}{8} $。
由相似三角形性质：$ \frac{HG}{BC} = \frac{8 - x}{8} $，即$ \frac{2x}{12} = \frac{8 - x}{8} $。
解得$ x = \frac{24}{7} $，面积$ = 2x \cdot x = 2 × \left( \frac{24}{7} \right)^2 = \frac{1152}{49} \, cm^2 $。
情况2：设矩形的宽为$ x \, cm $，长为$ 2x \, cm $，且宽在$ BC $上。
同理，$ \triangle AHG $的高为$ AD - 2x = 8 - 2x $，相似比为$ \frac{8 - 2x}{8} $。
由相似三角形性质：$ \frac{HG}{BC} = \frac{8 - 2x}{8} $，即$ \frac{x}{12} = \frac{8 - 2x}{8} $。
解得$ x = 3 $，面积$ = x \cdot 2x = 3 × 6 = 18 \, cm^2 $。
综上，加工成的铁片的面积为$ 18 \, cm^2 $或$ \frac{1152}{49} \, cm^2 $。