6. 如图,在$Rt△ABC$中,CD是斜边AB上的高,则图中的相似三角形共有 ()

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

C

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$。
因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle A+\angle ACD = 90^{\circ}$，所以$\angle B=\angle ACD$。
又$\angle ADC=\angle CDB = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$。
$\triangle ACD\sim\triangle ABC$（两角分别相等的两个三角形相似，$\angle A$为公共角，$\angle ADC=\angle ACB = 90^{\circ}$）；
$\triangle BCD\sim\triangle BAC$（两角分别相等的两个三角形相似，$\angle B$为公共角，$\angle BDC=\angle BCA = 90^{\circ}$）；
$\triangle ACD\sim\triangle CBD$（两角分别相等的两个三角形相似，$\angle ACD=\angle B$，$\angle ADC=\angle BDC = 90^{\circ}$）。
所以图中的相似三角形共有$3$对。

7. 如图,有一块直角边$AB= 3cm,BC= 4cm的Rt△ABC$的铁片,现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计),则正方形的边长为 ()

A.$\frac {6}{7}cm$
B.$\frac {30}{37}cm$
C.$\frac {12}{7}cm$
D.$\frac {60}{37}cm$

D

解：
已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，由勾股定理得AC=5cm。设正方形DEFG的边长为x，D在AB上，E在BC上，G、F在AC上，DG=EF=GF=x。
1. 相似三角形判定与比例关系
△ADG∽△ACB（∠A公共，∠AGD=∠B=90°），则$\frac{DG}{BC}=\frac{AG}{AB}$，即$\frac{x}{4}=\frac{AG}{3}$，得$AG=\frac{3x}{4}$。
△EFC∽△ABC（∠C公共，∠EFC=∠B=90°），则$\frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}$，即$\frac{x}{3}=\frac{FC}{4}$，得$FC=\frac{4x}{3}$。
2. 列方程求解
由AC=AG+GF+FC=5cm，得：
$\frac{3x}{4}+x+\frac{4x}{3}=5$
通分合并：$\frac{9x+12x+16x}{12}=5$，即$\frac{37x}{12}=5$
解得$x=\frac{60}{37}$

8. 如图,点P是$△ABC$边AB上一点$(AB＞AC)$,下列条件不一定能使$△ACP\backsim △ABC$的是 ()

A.$\frac {AC}{AB}= \frac {AP}{AC}$
B.$\frac {PC}{BC}= \frac {AC}{AB}$
C.$∠ACP= ∠B$
D.$∠APC= ∠ACB$

A. 当$\frac{AC}{AB} = \frac{AP}{AC}$时，
因为$\angle A$为公共角，
根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比值相等，‌并且相应的夹角相等，‌那么这两个三角形相似，
所以$ \triangle ACP \sim \triangle ABC$，
故本选项不符合题意。
B. 当$\frac{PC}{BC} = \frac{AC}{AB}$时，
虽然$\angle A$为公共角，但给出的条件不是两边的对应比值相等，且没有给出另一组对应角相等的条件，
所以不能判定$ \triangle ACP$与$ \triangle ABC$相似，
故本选项符合题意。
C. 当$\angle ACP = \angle B$时，
因为$\angle A$为公共角，
根据相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，‌那么这两个三角形相似，‌
所以$ \triangle ACP \sim \triangle ABC$，
故本选项不符合题意。
D. 当$\angle APC = \angle ACB$时，
因为$\angle A$为公共角，
根据相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，‌那么这两个三角形相似，‌
所以$ \triangle ACP \sim \triangle ABC$，
故本选项不符合题意。
故选B。

9. 如图,在四边形ABCD中,$∠A= ∠D= 90^{\circ },AD= 14,AB= 4,CD= 6$,P是AD上的动点,连接BP,CP,若$△PAB与△CDP$相似,则这样的点P共有 ()

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

D

设$AP=x$，则$PD=AD-AP=14-x$。
当$\triangle PAB\sim\triangle CDP$时，有$\frac{AB}{PD}=\frac{AP}{CD}$，
即$\frac{4}{14-x}=\frac{x}{6}$，
整理得$x^{2}-14x + 24 = 0$，
因式分解为$(x-2)(x-12)=0$，
解得$x=2$或$x=12$。
当$\triangle PAB\sim\triangle DPC$时，有$\frac{AB}{CD}=\frac{AP}{PD}$，
即$\frac{4}{6}=\frac{x}{14-x}$，
交叉相乘得$4(14-x)=6x$，
$56-4x=6x$，
$10x=56$，
解得$x=5.6$。
所以这样的点$P$共有$3$个。

10. 如图,在正方形ABCD中,点E在边BC上,且$CE= 2BE$.连接BD,DE,AE,且AE交BD于F,OG为$△BDE$的中位线:下列结论:①$BD= 4OF$,②$S_{△ABE}= 3S_{△ODG}$,③$CD= 5OG$,④$OB= \frac {2\sqrt {5}}{5}AF$.其中正确结论的个数是 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

B

解：设正方形ABCD边长为3a，则BE=a，CE=2a。以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，各点坐标：B(0,0)，A(0,3a)，C(3a,0)，D(3a,3a)，E(a,0)。
关键线段与坐标：
BD：对角线，方程y=x，长度$BD=3a\sqrt{2}$，中点O($\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}$)，故$OB=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$。
AE：方程$y=-3x+3a$，与BD交于F。联立$y=x$与$y=-3x+3a$，得F($\frac{3a}{4},\frac{3a}{4}$)。
OG：△BDE中位线，O为BD中点，G为DE中点（D(3a,3a)，E(a,0)），G(2a,$\frac{3a}{2}$)，故$OG=2a-\frac{3a}{2}=\frac{a}{2}$（平行于BE，长度为BE的一半）。
结论判断：
1. BD=4OF：
$OF=\sqrt{(\frac{3a}{2}-\frac{3a}{4})^2+(\frac{3a}{2}-\frac{3a}{4})^2}=\frac{3a\sqrt{2}}{4}$，$4OF=3a\sqrt{2}=BD$，①正确。
2. S△ABE=3S△ODG：
$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}× a× 3a=\frac{3a^2}{2}$；$S_{\triangle ODG}=\frac{1}{2}× \frac{a}{2}× \frac{3a}{2}=\frac{3a^2}{8}$，$3S_{\triangle ODG}=\frac{9a^2}{8}\neq\frac{3a^2}{2}$，②错误。
3. CD=5OG：
$CD=3a$，$5OG=5×\frac{a}{2}=\frac{5a}{2}\neq3a$，③错误。
4. OB= $\frac{2\sqrt{5}}{5}AF$：
$AF=\sqrt{(\frac{3a}{4})^2+(-\frac{9a}{4})^2}=\frac{3a\sqrt{10}}{4}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}AF=\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{3a\sqrt{10}}{4}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}=OB$，④正确。
正确结论：①④，共2个。

11. 若反比例函数$y= -\frac {6}{x}$的图象经过点A(m,3),则m的值是.

$-2$

已知反比例函数$y = -\frac{6}{x}$的图象经过点A(m, 3)，
根据反比例函数的定义，当$x = m$时，$y = 3$，
代入得：$3 = -\frac{6}{m}$，
解这个方程，我们得到：$m = -2$。

12. 反比例函数$y= \frac {k}{x}$的图象上有一点P(2,n),将点P向右平移1个单位,再向下平移1个单位得到点Q,若点Q也在该函数的图象上,则$k= $.

6

1. 点 $ P(2, n) $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上，因此将 $ P $ 的坐标代入函数方程，得到 $ n = \frac{k}{2} $。
2. 将点 $ P $ 向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位，得到点 $ Q $。点 $ Q $ 的坐标为 $ (3, n-1) $。
3. 点 $ Q $ 也在函数的图象上，因此将 $ Q $ 的坐标代入函数方程，得到 $ n - 1 = \frac{k}{3} $。
4. 联立两个方程 $ n = \frac{k}{2} $ 和 $ n - 1 = \frac{k}{3} $，解方程组：
$ \frac{k}{2} - 1 = \frac{k}{3} $
5. 移项并通分：
$ \frac{k}{2} - \frac{k}{3} = 1 $
$ \frac{3k - 2k}{6} = 1 $
$ \frac{k}{6} = 1 $
$ k = 6 $

13. 某商品经过连续两次降价,售价由原来的25元/件降到16元/件,则平均每次降价的百分率为.

本题答案为$20\%$。

设平均每次降价的百分率为$x$，则经过两次降价后的售价为$25(1 - x)^{2}$。
根据题意，有方程：
$25(1 - x)^{2} = 16$，
展开方程得：
$25(1 - 2x + x^{2}) = 16$，
$25 - 50x + 25x^{2} = 16$，
$25x^{2} - 50x + 9 = 0$，
解这个一元二次方程，得到两个$x_{1} = 0.2 = 20\%$，$x_{2} = 1.8$（由于降价百分率不可能超过$100\%$，所以$x_{2}$不符合实际情况，舍去）。
所以，平均每次降价的百分率为$20\%$。