20. (8 分)如图,已知在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$.
(1) 请按如下要求完成尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
①作$\angle BAC$的角平分线$AD$,交$BC$于点$D$;
②作线段$AD$的垂直平分线$EF$与$AB$相交于点$O$;
③以点$O$为圆心,以$OD$长为半径画圆,交边$AB$于点$M$.
(2) 在(1)的条件下,求证:$BC$是$\odot O$的切线.
(3) 若$AM = 4BM$,$AC = 10$,求$\odot O$的半径.

(3) 6

(1) （作图痕迹略，需按要求用尺规作出角平分线、垂直平分线及圆）
(2) 证明：连接OD。
∵EF垂直平分AD，∴OA=OD，∠OAD=∠ODA。
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD，故∠CAD=∠ODA。
∵∠C=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，则∠ODA+∠ADC=∠ODC=90°，即OD⊥BC。
∵OD为⊙O半径，∴BC是⊙O的切线。
(3) 设⊙O半径为r，AM=4BM，设BM=x，则AM=4x，AB=5x。
∵EF垂直平分AD，∴OA=OD=r。
∵⊙O交AB于M，∴OM=OD=r，故AM=OA+OM=2r=4x，得x=r/2，AB=5x=5r/2。
∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴OD//AC，△BOD∽△BAC。
OB=AB-OA=5r/2 - r=3r/2。
由相似比OD/AC=BO/BA，即r/10=(3r/2)/(5r/2)=3/5，解得r=6。

21. (8 分)如图,$\odot O$的直径$AB$为 10 cm,弦$BC$为 6 cm,$D,E$分别是$\angle ACB$的平分线与$\odot O$及$\odot O$的直径$AB$的交点,$P$为$AB$延长线上一点,且$PC = PE$.
(1) 求$AC,AD$的长;
(2) 试判断直线$PC$与$\odot O$的位置关系,并说明理由.

(1) ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。在Rt△ABC中，AB=10cm，BC=6cm，由勾股定理得：AC²=AB²-BC²=10²-6²=64，∴AC=8cm。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°。∵∠BCD=∠BAD，∠ACD=∠ABD，∴∠BAD=∠ABD=45°。∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴△ADB是等腰直角三角形，AD=BD。在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，2AD²=10²，AD²=50，∴AD=5√2 cm。
(2) PC与⊙O相切。理由如下：
设O为原点，AB为x轴，A(-5,0)，B(5,0)，C(7/5,24/5)，D(0,-5)。直线CD的斜率k=( -5 - 24/5 )/(0 - 7/5 )=7，方程为y=7x-5。令y=0，得E(5/7,0)。设P(t,0)，∵PC=PE，∴(t - 7/5 )² + (24/5 )²=(t - 5/7 )²，解得t=125/7。
OC斜率为24/7，PC斜率为(0 - 24/5 )/(125/7 - 7/5 )=-7/24，∵(24/7)×(-7/24)=-1，∴OC⊥PC。∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线。
(1) AC=8cm，AD=5√2 cm；(2) PC与⊙O相切。