5. 如图,直线 $y_1 = x + 1$与双曲线 $y_2 = \frac{k}{x}$交于 $A(2,m),B(-6,n)$两点,则当 $y_1 ＜ y_2$时,x 的取值范围是()

A.$x ＞ -6$或 $0 ＜ x ＜ 2$
B.$-6 ＜ x ＜ 0$或 $x ＞ 2$
C.$x ＜ -6$或 $0 ＜ x ＜ 2$
D.$-6 ＜ x ＜ 2$

C

将A(2,m)代入y₁=x+1，得m=3，即A(2,3)。将A(2,3)代入y₂=k/x，得k=6，故y₂=6/x。由图像可知，直线y₁与双曲线y₂交于A(2,3)、B(-6,n)。观察图像，当y₁＜y₂时，x的取值范围是x＜-6或0＜x＜2。

6. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$,y 与自变量 x 之间的部分对应值如表所示:

则 $\frac{b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(4a - 2b + c)$的值是()
A.8
B.-8
C.4
D.-4

C

∵二次函数过点(-1,0)，(2,0)，
∴设y=a(x+1)(x-2)。将(3,4)代入得4=a
(4)
(1)，解得a=1。
∴y=(x+1)(x-2)=x²-x-2，即a=1，b=-1，c=-2。
第一部分：(b+√(b²-4ac))/(2a)=(-1+√(1+8))/(2×1)=(-1+3)/2=1。
第二部分：4a-2b+c=4×1-2×(-1)+(-2)=4+2-2=4。
乘积：1×4=4。

7. 已知坐标平面上有两个二次函数 $y = a(x + 1)(x - 7),y = b(x + 1)(x - 15)$的图象,其中 a,b 为整数.判断将二次函数 $y = b(x + 1)(x - 15)$的图象依下列哪一种方式平移后,会使得这两个图象的对称轴重叠? ()
A.向左平移 4 个单位长度
B.向右平移 4 个单位长度
C.向左平移 8 个单位长度
D.向右平移 8 个单位长度

A

1. 首先将两个二次函数化为顶点式求对称轴：
对于$y = a(x + 1)(x - 7)=a(x^{2}-6x - 7)=a(x - 3)^{2}-16a$，其对称轴为直线$x = 3$。
对于$y = b(x + 1)(x - 15)=b(x^{2}-14x - 15)=b(x - 7)^{2}-64b$，其对称轴为直线$x = 7$（这里$b\neq0$，若$b = 0$，函数$y=b(x + 1)(x - 15)=0$，不是二次函数）。
2. 然后分析平移方式：
设$y = b(x + 1)(x - 15)$的图象平移后的对称轴与$y = a(x + 1)(x - 7)$的对称轴重合，即平移后对称轴为$x = 3$。
原对称轴$x = 7$，要变为$x = 3$，需要向左平移$7 - 3=4$个单位长度。

8. 已知 $y_1$和 $y_2$均是以 x 为自变量的函数,当 $x = n$时,函数值分别是 $N_1$和 $N_2$,若存在实数 n,使得 $N_1 + N_2 = 1$,则称函数 $y_1$和 $y_2$是“和谐函数”.下列函数中 $y_1$和 $y_2$不是“和谐函数”的是()
A.$y_1 = x^2 + 2x$和 $y_2 = -x + 1$
B.$y_1 = \frac{1}{x}$和 $y_2 = x + 1$
C.$y_1 = -\frac{1}{x}$和 $y_2 = -x - 1$
D.$y_1 = x^2 + 2x$和 $y_2 = -x - 1$

B

对于选项A，将$y_1$和$y_2$加在一起，并设其和为1，得到方程：
$x^2 + 2x - x + 1 = 1$，
化简得到：
$x^2 + x = 0$，
此方程有实数解$x=0$（或$x=-1$），所以A选项的函数是和谐函数。
对于选项B，同样将两个函数值相加并设为1，得到：
$\frac{1}{x} + x + 1 = 1$，
化简为：
$\frac{1}{x} + x = 0$，
即$\frac{x^{2} +1}{x}=0$，
此方程无实数解，因为$x^{2} \ge 0$，所以B选项的函数不是和谐函数（在实数范围内）。
对于选项C，将两个函数值相加并设为1，得到：
$-\frac{1}{x} - x - 1 = 1$，
化简为：
$-\frac{1}{x} - x = 2$，
进一步变形为：
$x^2+2x+1=0$，
即$(x+1)^2=0$，
此方程有实数解$x = -1$，所以C选项的函数是和谐函数。
对于选项D，将两个函数值相加并设为1，得到：
$x^2 + 2x - x - 1 = 1$，
化简得到：
$x^2 + x - 2 = 0$，
此方程有实数解$x = -2$（或$x = 1$），所以D选项的函数是和谐函数。

9. 三棱柱的三视图如图所示,在$\triangle EFG$中,已知 $EF = 8$ cm,$EG = 12$ cm,$\angle EGF = 30°$,则 AB 的长为()

A.6 cm
B.8 cm
C.$3\sqrt{3}$ cm
D.4 cm

A

由三视图可知，三棱柱底面为△EFG，左视图矩形的宽AB等于底面△EFG中某边上的高。在△EFG中，过E作FG的垂线，垂足为H，EH即为FG边上的高。已知EG=12cm，∠EGF=30°，则EH=EG·sin30°=12×1/2=6cm，故AB=EH=6cm。