18. (6 分)已知二次函数 $ y = ax^{2} + 2x + 1 \, (a \neq 0) $.
(1)当 $ a = 1 $ 时,求该二次函数图象的对称轴；
(2)若二次函数的图象经过两点 $ P(m, n) $,$ Q(2 - m, n) $,且 $ m \neq 1 $,求 $ a $ 的值.

(1) 解：当 $a = 1$ 时，二次函数为 $y = x^{2} + 2x + 1$。
对称轴公式为 $x = -\frac{b}{2a}$。
代入 $a = 1$，$b = 2$，得 $x = -\frac{2}{2 × 1} = -1$。
所以对称轴为直线 $x = -1$。
(2) 解：由于二次函数 $y = ax^{2} + 2x + 1$ 的图象经过 $P(m, n)$ 和 $Q(2 - m, n)$，且 $m \neq 1$，
根据二次函数的对称性，对称轴为 $x = \frac{m + (2 - m)}{2} = 1$。
对称轴公式同样为 $x = -\frac{b}{2a}$，代入 $b = 2$，得：
$1 = -\frac{2}{2a}$
$2a = -2$
$a = -1$
所以 $a$ 的值为 $-1$。

19. (6 分)已知抛物线 $ y = x^{2} + kx - k^{2} $ 的对称轴在 $ y $ 轴右侧,现将该抛物线先向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度后,得到的抛物线正好经过坐标原点,求 $ k $ 的值.

$k=-5$

1. 求抛物线对称轴：对于抛物线$y = x^2 + kx - k^2$，对称轴为$x = -\frac{k}{2}$。
因对称轴在$y$轴右侧，故$-\frac{k}{2} ＞ 0$，得$k ＜ 0$。
2. 平移抛物线：先向右平移3个单位，再向上平移1个单位。
原抛物线向右平移3个单位得：$y=(x - 3)^2 + k(x - 3)-k^2$；
再向上平移1个单位得：$y=(x - 3)^2 + k(x - 3)-k^2 + 1$。
3. 代入原点坐标：平移后抛物线过原点$(0,0)$，代入得：
$0=(0 - 3)^2 + k(0 - 3)-k^2 + 1$，
化简：$9 - 3k - k^2 + 1 = 0$，即$k^2 + 3k - 10 = 0$。
4. 解方程：$k^2 + 3k - 10 = 0$，因式分解得$(k + 5)(k - 2)=0$，
解得$k_1=-5$，$k_2=2$。
5. 结合条件$k ＜ 0$，舍去$k=2$，故$k=-5$。