21. (8 分)如图,点 B 是反比例函数$y = \frac{8}{x}(x ＞ 0)$图象上一点,过点 B 分别向坐标轴作垂线,垂足为点 A,C,反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过 OB 的中点 M,与 AB,BC 分别相交于点 D,E,连接 DE 并延长交 x 轴于点 F,点 G 与点 O 关于点 C 对称,连接 BF,BG.
(1) $k = $.
(2) 求$\triangle BDF$的面积.
(3) 求证:四边形 BDFG 为平行四边形.

(1) $ 2 $；(2) $ 3 $；(3) 见上述证明。

(1) 设点$ B(a,b) $，因$ B $在$ y = \frac{8}{x} $上，故$ ab = 8 $。$ OB $中点$ M\left( \frac{a}{2},\frac{b}{2} \right) $，代入$ y = \frac{k}{x} $得$ \frac{b}{2} = \frac{k}{\frac{a}{2}} $，则$ k = \frac{ab}{4} = \frac{8}{4} = 2 $。
(2) $ D $为$ y = \frac{2}{x} $与$ AB $（$ y = b $）交点，得$ D\left( \frac{2}{b},b \right) $；$ E $为$ y = \frac{2}{x} $与$ BC $（$ x = a $）交点，得$ E\left( a,\frac{2}{a} \right) $。直线$ DE $：设$ y = mx + n $，代入$ D,E $得$ m = -\frac{b}{a} $，$ n = b + \frac{2}{a} $。令$ y = 0 $，解得$ F\left( a + \frac{2}{b},0 \right) $。$ S_{\triangle BDF} = \frac{1}{2} × \left( a - \frac{2}{b} \right) × b = \frac{1}{2}(ab - 2) = \frac{1}{2}(8 - 2) = 3 $。
(3) $ G $与$ O $关于$ C(a,0) $对称，得$ G(2a,0) $。$ BD $：横坐标差$ a - \frac{2}{b} $，纵坐标差$ 0 $；$ FG $：横坐标差$ 2a - \left( a + \frac{2}{b} \right) = a - \frac{2}{b} $，纵坐标差$ 0 $。故$ BD // FG $且$ BD = FG $，四边形$ BDFG $为平行四边形。