23. (本题 16 分)
问题解决：
在数学课上,老师提出了这样一个问题：如图甲,点$P是正方形ABCD$内一点,$PA = 1$,$PB = 2$,$PC = 3$。你能求出$\angle APB$的度数吗？
小明通过观察、分析,形成了如下思路：
思路一：将$\triangle BPC绕点B逆时针旋转90^{\circ}$,得到$\triangle BP'A$,连接$PP'$,求出$\angle APB$的度数。
思路二：将$\triangle APB绕点B顺时针旋转90^{\circ}$,得到$\triangle CP'B$,连接$PP'$,求出$\angle APB$的度数。
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程。
类比探究：
如图乙,若点$P是正方形ABCD$外一点,$PA = 3$,$PB = 1$,$PC = \sqrt{11}$,求$\angle APB$的度数。

问题解决：$\boxed{135°}$；类比探究：$\boxed{45°}$。

问题解决：
选择思路一：将$\triangle BPC$绕点$B$逆时针旋转$90°$得到$\triangle BP'A$，连接$PP'$。
1. 旋转性质：$\triangle BPC \cong \triangle BP'A$，则$BP'=BP=2$，$P'A=PC=3$，$\angle PBP'=90°$。
2. 等腰直角$\triangle PBP'$：$PP'=\sqrt{BP^2+BP'^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$\angle BP'P=45°$。
3. 直角$\triangle APP'$：$PA=1$，$PP'=2\sqrt{2}$，$P'A=3$。
$\because PA^2 + PP'^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9 = P'A^2$，
$\therefore \angle APP'=90°$。
4. 求$\angle APB$：$\angle APB = \angle APP' + \angle PPB = 90° + 45° = 135°$。
类比探究：
将$\triangle APB$绕点$B$顺时针旋转$90°$得到$\triangle CP'B$，连接$PP'$。
1. 旋转性质：$\triangle APB \cong \triangle CP'B$，则$BP'=BP=1$，$PC'=PA=3$，$\angle PBP'=90°$。
2. 等腰直角$\triangle PBP'$：$PP'=\sqrt{BP^2+BP'^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\angle BP'P=45°$。
3. 直角$\triangle PP'C$：$PC=\sqrt{11}$，$PC'=3$，$PP'=\sqrt{2}$。
$\because PC'^2 + PP'^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 = 9 + 2 = 11 = PC^2$，
$\therefore \angle PP'C=90°$。
4. 求$\angle APB$：$\angle APB = \angle CP'B = \angle PP'C - \angle BP'P = 90° - 45° = 45°$。