24. (本题满分 12 分)
如图,$ BD $ 是四边形 $ ABCD $ 的对角线,边 $ BC $ 在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为 $ PQ $,连接 $ PA,QD $.
(1) 如图 1,四边形 $ ABCD $ 是正方形时,作 $ QO\perp BD $,垂足为 $ O $,连接 $ OA,OP $,判断 $ OA,OP $ 之间的数量关系和位置关系,并证明;
(2) 如图 2,四边形 $ ABCD $ 是菱形时,设 $ \angle ABC = \alpha $,点 $ O $ 在 $ BD $ 上,且 $ \angle DOQ = \angle ABC $,判断 $ OA $ 与 $ OP $ 的数量关系,写出推理过程,并用含有 $ \alpha $ 的代数式表示 $ \angle AOP $;
(3) 在(2)的条件下,若 $ AB = 5\,cm $,$ BD = 8\,cm $,当四边形 $ APQD $ 是菱形时(如图 3),请直接写出线段 $ BC $ 平移的距离为.

(1) OA=OP且OA⊥OP。
证明：设正方形边长为a，建立坐标系，B(0,0),C(a,0),A(0,a),D(a,a)。设BC平移距离为t，则P(t,0),Q(t+a,0)。QO⊥BD，BD:y=x，QO:y=-x+t+a。联立得O((t+a)/2,(t+a)/2)。
OA=√[((t+a)/2)²+((t+a)/2 - a)²]=√[(t²+a²)/2]，
OP=√[(t - (t+a)/2)²+((t+a)/2)²]=√[(t²+a²)/2]，故OA=OP。
OA斜率=( (t+a)/2 - a )/( (t+a)/2 )=(t - a)/(t + a)，OP斜率=( (t+a)/2 )/( (t+a)/2 - t )=(t + a)/(a - t)，斜率乘积=-1，故OA⊥OP。
(2) OA=OP，∠AOP=180°-α。
推理：PQ=BC=AB，PQ//BC得∠OBQ=∠OQB=α/2，故OB=OQ。∠ABO=∠PQO=α/2，△ABO≌△PQO(SAS)，得OA=OP，∠AOB=∠POQ。∠AOP=∠AOB - ∠POB=∠BOQ=180°-α。
(3) 14/5 cm