1. 对于任何实数 $ m $,抛物线 $ y = 2x^2 + m $ 与 $ y = 2x^2 $ ( )

A.开口方向相同
B.顶点相同
C.最小值相同
D.都有最大值

A

抛物线$y=2x^2+m$与$y=2x^2$，二次项系数均为$2＞0$，开口方向均向上，A正确；$y=2x^2$顶点为$(0,0)$，$y=2x^2+m$顶点为$(0,m)$，顶点不同，B错误；$y=2x^2$最小值为$0$，$y=2x^2+m$最小值为$m$，最小值不同，C错误；两抛物线开口向上，都有最小值，无最大值，D错误。
A

2. 已知函数 $ y = x^2 - 2 $,当函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小时,$ x $ 的取值范围是 ( )

A.$ x ＜ 2 $
B.$ x ＞ 0 $
C.$ x ＜ 0 $
D.$ x ＞ -2 $

C

函数$y = x^2 - 2$的二次项系数为$1\gt0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x = 0$。当$x\lt0$时，函数值$y$随$x$的增大而减小。
C

3. 对于二次函数 $ y = 3x^2 + 2 $,下列说法错误的是 ( )

A.最小值为 2
B.图象与 $ x $ 轴没有公共点
C.图象的对称轴是 $ y $ 轴
D.当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

D

A. 二次函数$y = 3x^2 + 2$，$a=3＞0$，开口向上，顶点坐标为$(0,2)$，最小值为$2$，正确；
B. 令$y=0$，$3x^2 + 2=0$，$3x^2=-2$，方程无解，图象与$x$轴没有公共点，正确；
C. 对称轴为直线$x=0$，即$y$轴，正确；
D. 对称轴为$y$轴，开口向上，当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小，错误。
结论：D

4. 写出一个开口向上、对称轴是 $ y $ 轴、顶点在 $ y $ 轴负半轴上的抛物线的函数解析式：____.

$ y=x^2-6 $(答案不唯一)

5. 把抛物线 $ y = x^2 $ 向上平移 3 个单位长度后,得到的抛物线为____.

$ y=x^2+3 $

6. 在同一个平面直角坐标系中作出 $ y = \frac{1}{2}x^2 $,$ y = \frac{1}{2}x^2 - 1 $ 的图象,并回答下列问题：
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)说明抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 1 $ 有什么关系?

作图步骤：
1. 列表：
对 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 和 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 1 $，取 $ x = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 $，计算对应 $ y $ 值：
$ y = \frac{1}{2}x^2 $：$(-4, 8), (-3, 4.5), (-2, 2), (-1, 0.5), (0, 0), (1, 0.5), (2, 2), (3, 4.5), (4, 8)$
$ y = \frac{1}{2}x^2 - 1 $：$(-4, 7), (-3, 3.5), (-2, 1), (-1, -0.5), (0, -1), (1, -0.5), (2, 1), (3, 3.5), (4, 7)$
2. 描点：在坐标系中描出上述点。
3. 连线：用平滑曲线连接各点，得到两条抛物线。
(1) 性质：
$ y = \frac{1}{2}x^2 $：
开口方向：向上；对称轴：$ y $ 轴（直线 $ x = 0 $）；顶点坐标：$(0, 0)$。
$ y = \frac{1}{2}x^2 - 1 $：
开口方向：向上；对称轴：$ y $ 轴（直线 $ x = 0 $）；顶点坐标：$(0, -1)$。
(2) 关系：
抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 1 $ 是由抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 向下平移 1 个单位长度得到的。

7. 填表：

|函数|开口方向|顶点坐标|对称轴| $ y $ 的最值|
| $ y = 3x^2 $ | | | | |
| $ y = 3x^2 + 1 $ | | | | |
| $ y = -4x^2 - 5 $ | | | | |

| 函数 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | $y$ 的最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = 3x^2$ | 向上 | $(0,0)$ | $x=0$（$y$轴） | 最小值 $0$ |
| $y = 3x^2 + 1$ | 向上 | $(0,1)$ | $x=0$（$y$轴） | 最小值 $1$ |
| $y = -4x^2 - 5$ | 向下 | $(0,-5)$ | $x=0$（$y$轴） | 最大值 $-5$ |