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7. 如图,$\triangle ACE≌\triangle DBF$,给出下列结论：①$AC= DB$；②$AB= DC$；③$\angle 1= \angle 2$；④$AE// DF$；⑤$S_{\triangle ACE}= S_{\triangle DFB}$；⑥$BC= AE$；⑦$BF// EC$.其中正确的有(
A.$4$个
B.$5$个
C.$6$个
D.$7$个
C
)A.$4$个
B.$5$个
C.$6$个
D.$7$个
答案
C
解析
由于$\triangle ACE\cong\triangle DBF$，
根据全等三角形的性质，得$AC=DB$，所以①正确；
由线段的和差关系，得$AB=AC-BC$，$DC=DB-BC$，
因为$AC=DB$，
所以$AB=DC$，
所以②正确；
由于$\triangle ACE\cong\triangle DBF$，
根据全等三角形的性质，得$\angle ACE=\angle DBF$，
所以$\angle 1=\angle 2$（等量的补角相等），
所以③正确；
由于$\triangle ACE\cong\triangle DBF$，
根据全等三角形的性质，得$\angle EAC=\angle FDB$，
所以$AE// DF$（内错角相等，两直线平行），
所以④正确；
由于$\triangle ACE\cong\triangle DBF$，
根据全等三角形的性质，三角形的面积相等，
所以$S_{\triangle ACE}=S_{\triangle DFB}$，
所以⑤正确；
$BC$和$AE$不是对应边，
所以$BC\neq AE$，
所以⑥错误；
由于$\triangle ACE\cong\triangle DBF$，
根据全等三角形的性质，得$\angle ECA=\angle FBD$，
所以$BF// EC$（内错角相等，两直线平行），
所以⑦正确。
综上，正确的有①②③④⑤⑦，共6个。
根据全等三角形的性质，得$AC=DB$，所以①正确；
由线段的和差关系，得$AB=AC-BC$，$DC=DB-BC$，
因为$AC=DB$，
所以$AB=DC$，
所以②正确；
由于$\triangle ACE\cong\triangle DBF$，
根据全等三角形的性质，得$\angle ACE=\angle DBF$，
所以$\angle 1=\angle 2$（等量的补角相等），
所以③正确；
由于$\triangle ACE\cong\triangle DBF$，
根据全等三角形的性质，得$\angle EAC=\angle FDB$，
所以$AE// DF$（内错角相等，两直线平行），
所以④正确；
由于$\triangle ACE\cong\triangle DBF$，
根据全等三角形的性质，三角形的面积相等，
所以$S_{\triangle ACE}=S_{\triangle DFB}$，
所以⑤正确；
$BC$和$AE$不是对应边，
所以$BC\neq AE$，
所以⑥错误；
由于$\triangle ACE\cong\triangle DBF$，
根据全等三角形的性质，得$\angle ECA=\angle FBD$，
所以$BF// EC$（内错角相等，两直线平行），
所以⑦正确。
综上，正确的有①②③④⑤⑦，共6个。
8. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A:\angle ABC:\angle ACB= 3:5:10$,$B'是AC$延长线上一点,$A'是B'B$延长线上一点,且$\triangle A'B'C≌\triangle ABC$,则$\angle BCA':\angle BCB'= $
1:4
.答案
1:4
解析
设$\angle A = 3x$，$\angle ABC = 5x$，$\angle ACB = 10x$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$3x + 5x + 10x = 180°$，解得$x = 10°$。
则$\angle A = 30°$，$\angle ABC = 50°$，$\angle ACB = 100°$。
$\angle BCB' = 180° - \angle ACB = 180° - 100° = 80°$。
因为$\triangle A'B'C \cong \triangle ABC$，所以$\angle A'CB' = \angle ACB = 100°$。
$\angle BCA' = \angle A'CB' - \angle BCB' = 100° - 80° = 20°$。
故$\angle BCA':\angle BCB' = 20°:80° = 1:4$。
1:4
因为三角形内角和为$180°$，所以$3x + 5x + 10x = 180°$，解得$x = 10°$。
则$\angle A = 30°$，$\angle ABC = 50°$，$\angle ACB = 100°$。
$\angle BCB' = 180° - \angle ACB = 180° - 100° = 80°$。
因为$\triangle A'B'C \cong \triangle ABC$，所以$\angle A'CB' = \angle ACB = 100°$。
$\angle BCA' = \angle A'CB' - \angle BCB' = 100° - 80° = 20°$。
故$\angle BCA':\angle BCB' = 20°:80° = 1:4$。
1:4
9. 如图,已知$\triangle ABD≌\triangle ACE$,试证明$BE= CD$.
答案
证明：
∵△ABD≌△ACE，
∴AB=AC，AD=AE（全等三角形对应边相等）。
∵BE=AE-AB，CD=AD-AC，
∴BE=CD。
∵△ABD≌△ACE，
∴AB=AC，AD=AE（全等三角形对应边相等）。
∵BE=AE-AB，CD=AD-AC，
∴BE=CD。
10. 如图,已知在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 10\mathrm{cm}$,$BC= 8\mathrm{cm}$,$D为AB$的中点,点$P在线段BC上以3\mathrm{cm}/\mathrm{s}的速度由点B向点C$运动,同时,点$Q在线段CA上由点C向点A以a\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度运动,设运动的时间为$t\mathrm{s}$.
(1)求$CP$的长(用含$t$的代数式表示).
(2)若以$C$,$P$,$Q为顶点的三角形和以B$,$D$,$P$为顶点的三角形全等,且$\angle B和\angle C$是对应角,求$a$的值.
(1)求$CP$的长(用含$t$的代数式表示).
(2)若以$C$,$P$,$Q为顶点的三角形和以B$,$D$,$P$为顶点的三角形全等,且$\angle B和\angle C$是对应角,求$a$的值.
答案
(1) 因为点$P$从$B$出发以$3\mathrm{cm/s}$的速度沿$BC$运动，$BC = 8\mathrm{cm}$，所以$BP = 3t\mathrm{cm}$，则$CP=(8 - 3t)\mathrm{cm}$。
(2) 因为$D$为$AB$中点，$AB = 10\mathrm{cm}$，所以$BD=\frac{1}{2}AB = 5\mathrm{cm}$。
分两种情况：
①当$\triangle BPD\cong\triangle CQP$时，$BP = CQ$，$BD = CP$，即$\begin{cases}3t = at\\8 - 3t = 5\end{cases}$，
由$8 - 3t = 5$得$3t = 3$，$t = 1$，把$t = 1$代入$3t = at$得$a = 3$。
②当$\triangle BPD\cong\triangle CQP$（对应点换位）时，$BP = CP$，$BD = CQ$，即$\begin{cases}3t = 8 - 3t\\at = 5\end{cases}$，
由$3t = 8 - 3t$得$6t = 8$，$t=\frac{4}{3}$，把$t = \frac{4}{3}$代入$at = 5$得$a=\frac{15}{4}$。
综上，$a$的值为$3$或$\frac{15}{4}$。
(2) 因为$D$为$AB$中点，$AB = 10\mathrm{cm}$，所以$BD=\frac{1}{2}AB = 5\mathrm{cm}$。
分两种情况：
①当$\triangle BPD\cong\triangle CQP$时，$BP = CQ$，$BD = CP$，即$\begin{cases}3t = at\\8 - 3t = 5\end{cases}$，
由$8 - 3t = 5$得$3t = 3$，$t = 1$，把$t = 1$代入$3t = at$得$a = 3$。
②当$\triangle BPD\cong\triangle CQP$（对应点换位）时，$BP = CP$，$BD = CQ$，即$\begin{cases}3t = 8 - 3t\\at = 5\end{cases}$，
由$3t = 8 - 3t$得$6t = 8$，$t=\frac{4}{3}$，把$t = \frac{4}{3}$代入$at = 5$得$a=\frac{15}{4}$。
综上，$a$的值为$3$或$\frac{15}{4}$。
