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1. 下列判断正确的是（
A.平分弦的直线垂直于弦
B.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
C.弦的垂直平分线必平分弦所对的弧
D.平分弦的直径也平分弦所对的两条弧
C
）A.平分弦的直线垂直于弦
B.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
C.弦的垂直平分线必平分弦所对的弧
D.平分弦的直径也平分弦所对的两条弧
答案
C
解析
A选项错误，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这里要求是直径才能垂直，而题目中说的是“直线”，不一定是直径，故A错误；
B选项错误，平分一条弧的直线不一定平分这条弧所对的弦，只有当这条直线是直径时才成立，故B错误；
C选项正确，根据垂径定理，弦的垂直平分线必平分弦所对的弧；
D选项错误，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，但题目中没有说明弦不是直径，若弦为直径时，另一直径平分此直径，但不一定平分弦所对的两条弧（当弦为直径时，所对的弧为半圆，另一直径不一定平分此半圆，除非是垂直），故D错误。
B选项错误，平分一条弧的直线不一定平分这条弧所对的弦，只有当这条直线是直径时才成立，故B错误；
C选项正确，根据垂径定理，弦的垂直平分线必平分弦所对的弧；
D选项错误，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，但题目中没有说明弦不是直径，若弦为直径时，另一直径平分此直径，但不一定平分弦所对的两条弧（当弦为直径时，所对的弧为半圆，另一直径不一定平分此半圆，除非是垂直），故D错误。
2. 如图，在$\odot O$中，$AB$是直径，$CD$是弦（非直径），$AB$与$CD$交于点$M$，$M$为$CD$中点，下列四个结论：①$AB\perp CD$；②$AC = AD$；③$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，④$\angle C=\angle D$中成立的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
连接OC、OD。因为M为CD中点，所以CM=DM。在△OCM和△ODM中，OC=OD（半径），OM=OM（公共边），CM=DM，所以△OCM≌△ODM（SSS），则∠OMC=∠OMD=90°，故AB⊥CD，①成立；由AB⊥CD且M为CD中点，根据垂径定理，AB垂直平分CD，所以AC=AD，②成立；因为AB是直径且AB⊥CD，根据垂径定理，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，③成立；因为AC=AD，所以∠C=∠D，④成立。综上，①②③④都成立。
3. 如图，$\odot O$的直径$CD$与弦$AB$（不是直径）交于点$M$，添加条件
$CD\perp AB$
（写出一个即可），就可得到$D$是弧$AB$的中点.答案
$CD\perp AB$
解析
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
若$CD\perp AB$，因为$CD$是$\odot O$的直径，由垂径定理可知$CD$平分弦$AB$所对的弧，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$D$是弧$AB$的中点。
若$CD\perp AB$，因为$CD$是$\odot O$的直径，由垂径定理可知$CD$平分弦$AB$所对的弧，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$D$是弧$AB$的中点。
4. 如图，弦$CD$垂直于$\odot O$的直径$AB$，垂足为$H$，且$CD = 2\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{3}$，则$AB$的长为
3
.答案
3
解析
连接$OD$。
由于$AB$是直径，$CD\perp AB$，垂足为$H$，根据垂径定理，$CH = DH$。
已知$CD = 2\sqrt{2}$，所以$DH = \sqrt{2}$。
在直角三角形$BHD$中，已知$DH = \sqrt{2}$，$BD = \sqrt{3}$，可以利用勾股定理求出$BH$：
$BH = \sqrt{BD^{2} - DH^{2}} = \sqrt{3 - 2} = 1$，
设$OD$为$r$，则$OH=r-BH=r-1$，
在$Rt \bigtriangleup OHD$中，
$OH^{2} + DH^{2} = OD^{2}$，
即$(r - 1)^{2} + (\sqrt{2})^{2} = r^{2}$，
解得$r=\frac{3}{2}$，
所以$AB=2r=3$。
由于$AB$是直径，$CD\perp AB$，垂足为$H$，根据垂径定理，$CH = DH$。
已知$CD = 2\sqrt{2}$，所以$DH = \sqrt{2}$。
在直角三角形$BHD$中，已知$DH = \sqrt{2}$，$BD = \sqrt{3}$，可以利用勾股定理求出$BH$：
$BH = \sqrt{BD^{2} - DH^{2}} = \sqrt{3 - 2} = 1$，
设$OD$为$r$，则$OH=r-BH=r-1$，
在$Rt \bigtriangleup OHD$中，
$OH^{2} + DH^{2} = OD^{2}$，
即$(r - 1)^{2} + (\sqrt{2})^{2} = r^{2}$，
解得$r=\frac{3}{2}$，
所以$AB=2r=3$。
5. 如图，$\odot O$的直径$AB$平分弦$CD$，$CD = 10\mathrm{cm}$，$AP:PB = 1:5$. 求$\odot O$的半径.
答案
设$\odot O$的半径为$R\mathrm{cm}$，则$AB = 2R\mathrm{cm}$。
因为$AP:PB = 1:5$，所以$AP=\frac{1}{6} × 2R=\frac{R}{3}\mathrm{cm}$，$PB = \frac{5}{6}× 2R=\frac{5R}{3}\mathrm{cm}$。
连接$OC$，因为$AB$是$\odot O$的直径且平分弦$CD$，根据垂径定理的推论可知$AB\perp CD$，$C$为$CD$中点（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧），所以$CM=\frac{1}{2}CD = 5\mathrm{cm}$（$M$为$AB$与$CD$交点）。
在$Rt\triangle OCM$中，$OM=(R - \frac{R}{3})=\frac{2R}{3}\mathrm{cm}$，$OC = R\mathrm{cm}$，$CM = 5\mathrm{cm}$。
根据勾股定理$OC^{2}=OM^{2}+CM^{2}$，可得$R^{2}=(\frac{2R}{3})^{2}+5^{2}$。
$R^{2}=\frac{4R^{2}}{9}+25$，移项得$R^{2}-\frac{4R^{2}}{9}=25$，即$\frac{5R^{2}}{9}=25$，$R^{2}=45$，解得$R = 3\sqrt{5}$（$R＞0$）。
综上，$\odot O$的半径为$3\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
因为$AP:PB = 1:5$，所以$AP=\frac{1}{6} × 2R=\frac{R}{3}\mathrm{cm}$，$PB = \frac{5}{6}× 2R=\frac{5R}{3}\mathrm{cm}$。
连接$OC$，因为$AB$是$\odot O$的直径且平分弦$CD$，根据垂径定理的推论可知$AB\perp CD$，$C$为$CD$中点（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧），所以$CM=\frac{1}{2}CD = 5\mathrm{cm}$（$M$为$AB$与$CD$交点）。
在$Rt\triangle OCM$中，$OM=(R - \frac{R}{3})=\frac{2R}{3}\mathrm{cm}$，$OC = R\mathrm{cm}$，$CM = 5\mathrm{cm}$。
根据勾股定理$OC^{2}=OM^{2}+CM^{2}$，可得$R^{2}=(\frac{2R}{3})^{2}+5^{2}$。
$R^{2}=\frac{4R^{2}}{9}+25$，移项得$R^{2}-\frac{4R^{2}}{9}=25$，即$\frac{5R^{2}}{9}=25$，$R^{2}=45$，解得$R = 3\sqrt{5}$（$R＞0$）。
综上，$\odot O$的半径为$3\sqrt{5}\mathrm{cm}$。
