2. 下列各式中,没有公因式的是()
A.$ab - bc$
B.$y^{2}-y$
C.$x^{2}+2x + 1$
D.$mn^{2}-nm + m^{2}$

C

A. 对于 $ab - bc$，可以提取公因式 $b$，得到 $b(a - c)$，所以A选项有公因式。
B. 对于 $y^{2} - y$，可以提取公因式 $y$，得到 $y(y - 1)$，所以B选项有公因式。
C. 对于 $x^{2} + 2x + 1$，这是一个完全平方公式，可以表示为 $(x + 1)^{2}$，它没有公因式可以提取。
D. 对于 $mn^{2} - nm + m^{2}$，可以提取公因式 $m$，得到 $m(n^{2} - n + m)$，所以D选项有公因式。

3. (2024·福建中考)分解因式：$x^{2}+x= $。

$x(x + 1)$

观察多项式 $x^{2} + x$，发现其中的每一项都含有公因式 $x$。
因此，可以将 $x$ 提取出来，得到：
$x^{2} + x = x \cdot x + x \cdot 1 = x(x + 1)$。

4. (2024·浙江中考)分解因式：$a^{2}-7a= $。

$a(a - 7)$。

对于式子$a^{2}-7a$，可以发现两项都含有公因式$a$，因此可以提取公因式$a$，得到：
$a^{2}-7a = a × a - 7 × a = a(a - 7)$。

5. 若$a = 49$,$b = 109$,则$ab - 9a$的值为。

4900

首先，观察表达式 $ab - 9a$，可以发现它们都含有公因式 $a$，
提取公因式 $a$，得到：
$ab - 9a = a(b - 9)$
然后，将 $a = 49$ 和 $b = 109$ 代入，得到：
$49 × (109 - 9) = 49 × 100 = 4900$

6. 已知$3a - 2b = 2$,则$9a - 6b= $。

6

本题可通过对$9a - 6b$提取公因式，再将$3a - 2b = 2$整体代入求解。
步骤一：对$9a - 6b$提取公因式
观察$9a - 6b$，每一项都含有公因式$3$，提取公因式$3$后可得：$9a - 6b = 3(3a - 2b)$。
步骤二：整体代入求值
已知$3a - 2b = 2$，将其代入$3(3a - 2b)$可得：$3×2 = 6$。

7. 分解因式：
(1)$m^{2}+10m$；(2)$x - 3x^{2}y + x^{4}$。

(1)
$m^{2}+10m = m(m + 10)$
(2)
$x - 3x^{2}y+x^{4}=x(1 - 3xy + x^{3})$

8. 关于$x的代数式2x^{2}-mx - 15分解因式得(x - 3)(nx + 5)$,则$n^{m}$的值为()
A.1
B.2
C.-1
D.-2

B

展开$(x - 3)(nx + 5)$得到$nx^2 + 5x - 3nx - 15$，
即$nx^2 + (5 - 3n)x - 15$。
比较$2x^2 - mx - 15$与$nx^2 + (5 - 3n)x - 15$的对应项系数：
$n$对应$2$，即$n = 2$；
$-m$对应$5 - 3n$，代入$n = 2$，得$-m = 5 - 6 = -1$，解得$m = 1$。
所以$n^m = 2^1 = 2$。

9. 如图,将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长都为$a$厘米的大正方形,2块是边长都为$b$厘米的小正方形,5块是长为$a$厘米,宽为$b$厘米的相同的小长方形,且$a＞b$。观察图形,尝试将代数式$2a^{2}+5ab + 2b^{2}$因式分解。

要将代数式$2a^{2}+5ab + 2b^{2}$因式分解，可通过分析大长方形的边长求解：
1. 计算总面积：9块图形面积之和为$2a^{2}+5ab + 2b^{2}$，即大长方形面积。
2. 确定大长方形的长和宽：
由图形中2个边长为$a$的大正方形、2个边长为$b$的小正方形及5个长$a$宽$b$的小长方形的组合，可得大长方形的长为$2a + b$，宽为$a + 2b$。
3. 验证面积关系：
大长方形面积$=(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+4ab+ab + 2b^{2}=2a^{2}+5ab + 2b^{2}$，与总面积相等。
因此，$2a^{2}+5ab + 2b^{2}=(2a + b)(a + 2b)$。
$(2a + b)(a + 2b)$

10. 先阅读下面的解法,再解答问题。
例：已知多项式$3x^{3}-x^{2}+m$分解因式的结果中有一个因式是$(3x + 1)$,求实数$m$。
解：设$3x^{3}-x^{2}+m= (3x + 1)\cdot K$($K$为整式),
令$(3x + 1)= 0$,则$x= -\frac{1}{3}$,得$3×(-\frac{1}{3})^{3}-(-\frac{1}{3})^{2}+m = 0$,即$m= \frac{2}{9}$。
这种方法叫特殊值法,请用特殊值法解决下列问题。
(1)若多项式$x^{2}+mx - 8$分解因式的结果中有一个因式为$(x - 2)$,则实数$m=$；
(2)若多项式$x^{3}+3x^{2}+5x + n$分解因式的结果中有一个因式为$(x + 1)$,求实数$n$的值；
(3)若多项式$x^{4}+mx^{3}+nx - 14$分解因式的结果中有因式$(x + 1)$和$(x - 2)$,求$m$,$n$的值。
(2)设$x^{3} + 3x^{2} + 5x + n = (x + 1)(x^{2} + ax + b)$。将右侧展开得：$(x + 1)(x^{2} + ax + b) = x^{3} + ax^{2} + bx + x^{2} + ax + b = x^{3} + (a + 1)x^{2} + (a + b)x + b$。根据多项式相等的条件，两个多项式相等当且仅当它们的对应项系数相等，所以：$a + 1 = 3$，$a + b = 5$，$b = n$，解这个方程组，得到：$a = 2$，$b = 3$，$n = 3$，所以，实数$n$的值为3。
(3)设$f(x)=x^{4}+mx^{3}+nx - 14$。因为分解因式的结果中有因式$(x + 1)$和$(x - 2)$，所以$x=-1$和$x = 2$是方程$f(x)=0$的两个根。当$x=-1$时，$f(-1)=1 - m - n - 14 = 0$，即$m + n=-13$ ①；当$x = 2$时，$f(2)=16 + 8m+2n - 14 = 0$，即$8m+2n=-2$，化简为$4m + n=-1$ ②；用②式减去①式得：$(4m + n)-(m + n)=-1-(-13)$，$4m + n - m - n=12$，$3m=12$，解得$m = 4$。把$m = 4$代入①式得：$4 + n=-13$，解得$n=-17$。综上，$m = 4$，$n=-17$。

$2$
@@设x^{3} + 3x^{2} + 5x + n = (x + 1)(x^{2} + ax + b)。将右侧展开得：(x + 1)(x^{2} + ax + b) = x^{3} + ax^{2} + bx + x^{2} + ax + b = x^{3} + (a + 1)x^{2} + (a + b)x + b。根据多项式相等的条件，两个多项式相等当且仅当它们的对应项系数相等，所以：a + 1 = 3，a + b = 5，b = n，解这个方程组，得到：a = 2，b = 3，n = 3，所以，实数n的值为4 +（-1（（（错（（计算b值时：a+b=5,a=2,所以b=3,即n=3） ） ） 纠正：所以n=b=3。故n的值为3。
@@设$f(x)=x^{4}+mx^{3}+nx - 14$。因为分解因式的结果中有因式$(x + 1)$和$(x - 2)$，所以$x=-1$和$x = 2$是方程$f(x)=0$的两个根。当$x=-1$时，$f(-1)=1 - m - n - 14 = 0$，即$m + n=-13$ ①；当$x = 2$时，$f(2)=16 + 8m+2n - 14 = 0$，即$8m+2n=-2$，化简为$4m + n=-1$ ②；用②式减去①式得：$(4m + n)-(m + n)=-1-(-13)$，$4m + n - m - n=12$，$3m=12$，解得$m = 4$。把$m = 4$代入①式得：$4 + n=-13$，解得$n=-17$。综上，$m = 4$，$n=-17$。

设$x^{2} + mx - 8 = (x - 2) \cdot K$（$K$为整式），
令$x - 2 = 0$，则$x = 2$，
代入多项式得：
$2^{2} + 2m - 8 = 0$，
即：
$4 + 2m - 8 = 0$，
$2m = 4$，
$m = 2$。