【典型例题】计算：

(1)$\frac{a^{2}+3a}{a^{2}-3a}-\frac{a - 3}{a}\cdot(\frac{2a}{a - 3})^{2}$；
(2)$(\frac{m^{2}-3m + 1}{m}+1)÷\frac{m^{2}-1}{m}$；
(3)$\frac{a^{2}-b^{2}}{a}÷(a+\frac{b^{2}-2ab}{a})$。
【解】(1)原式$=\frac{a + 3}{a - 3}-\frac{a - 3}{a}\cdot\frac{4a^{2}}{(a - 3)^{2}}= \frac{a + 3}{a - 3}-\frac{4a}{a - 3}= \frac{3 - 3a}{a - 3}$。
(2)原式$=\frac{m^{2}-3m + 1 + m}{m}÷\frac{m^{2}-1}{m}= \frac{(m - 1)^{2}}{m}\cdot\frac{m}{(m + 1)(m - 1)}= \frac{m - 1}{m + 1}$。
(3)原式$=\frac{a^{2}-b^{2}}{a}÷(\frac{a^{2}}{a}+\frac{b^{2}-2ab}{a})= \frac{a^{2}-b^{2}}{a}÷\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{a}= \frac{(a + b)(a - b)}{a}\cdot\frac{a}{(a - b)^{2}}= \frac{a + b}{a - b}$。

(1)
原式$=\frac{a(a + 3)}{a(a - 3)}-\frac{a - 3}{a}×\frac{4a^{2}}{(a - 3)^{2}}$
$=\frac{a + 3}{a - 3}-\frac{4a}{a - 3}$
$=\frac{a + 3 - 4a}{a - 3}$
$=\frac{3 - 3a}{a - 3}$
(2)
原式$=\frac{m^{2}-3m + 1 + m}{m}÷\frac{(m + 1)(m - 1)}{m}$
$=\frac{m^{2}-2m + 1}{m}×\frac{m}{(m + 1)(m - 1)}$
$=\frac{(m - 1)^{2}}{m}×\frac{m}{(m + 1)(m - 1)}$
$=\frac{m - 1}{m + 1}$
(3)
原式$=\frac{(a + b)(a - b)}{a}÷(\frac{a^{2}+b^{2}-2ab}{a})$
$=\frac{(a + b)(a - b)}{a}÷\frac{(a - b)^{2}}{a}$
$=\frac{(a + b)(a - b)}{a}×\frac{a}{(a - b)^{2}}$
$=\frac{a + b}{a - b}$

(1)原式$=\frac{a(a + 3)}{a(a - 3)}-\frac{a - 3}{a}\cdot\frac{4a^{2}}{(a - 3)^{2}}=\frac{a + 3}{a - 3}-\frac{4a}{a - 3}=\frac{3 - 3a}{a - 3}=-3$；
(2)原式$=\frac{m^{2}-3m + 1 + m}{m}÷\frac{m^{2}-1}{m}=\frac{m^{2}-2m + 1}{m}\cdot\frac{m}{(m + 1)(m - 1)}=\frac{(m - 1)^{2}}{(m + 1)(m - 1)}=\frac{m - 1}{m + 1}$；
(3)原式$=\frac{(a + b)(a - b)}{a}÷\left(\frac{a^{2} + b^{2}-2ab}{a}\right)=\frac{(a + b)(a - b)}{a}\cdot\frac{a}{(a - b)^{2}}=\frac{a + b}{a - b}$。

先化简,再求值：$(\frac{1}{y}-\frac{1}{x})÷(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})$,其中$x = 2 - y$。

$\frac{1}{2}$

化简过程：
1. 计算括号内分式减法：
第一个括号：$\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x - y}{xy}$
第二个括号：$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x - y)(x + y)}{xy}$（平方差公式：$x^2 - y^2=(x - y)(x + y)$）
2. 进行除法运算（除以分式等于乘其倒数）：
$ \left(\frac{x - y}{xy}\right) ÷ \left(\frac{(x - y)(x + y)}{xy}\right) = \frac{x - y}{xy} \cdot \frac{xy}{(x - y)(x + y)} $
3. 约分：分子分母约去$xy$和$(x - y)$，得$\frac{1}{x + y}$
代入求值：
已知$x = 2 - y$，则$x + y = 2 - y + y = 2$，代入化简结果得$\frac{1}{2}$

1. 化简$\frac{n}{n^{2}+1-2n}÷(\frac{1}{n - 1}+1)×(n - 1)$的结果是()
A.$\frac{1}{n - 1}$
B.$1$
C.$\frac{1}{n + 1}$
D.$\frac{1}{(n - 1)^{2}}$

B

$\begin{aligned}&\frac{n}{n^{2}+1-2n}÷(\frac{1}{n - 1}+1)×(n - 1)\\=&\frac{n}{(n - 1)^2}÷\left(\frac{1 + n - 1}{n - 1}\right)×(n - 1)\\=&\frac{n}{(n - 1)^2}÷\frac{n}{n - 1}×(n - 1)\\=&\frac{n}{(n - 1)^2}×\frac{n - 1}{n}×(n - 1)\\=&1\end{aligned}$

2. 化简：$\frac{2a}{a + 1}-\frac{2a - 4}{a^{2}-1}÷\frac{a - 2}{a^{2}-2a + 1}= $。

$\frac{2}{a + 1}$

原式$=\frac{2a}{a + 1}-\frac{2(a - 2)}{(a + 1)(a - 1)}\cdot\frac{(a - 1)^2}{a - 2}$
$=\frac{2a}{a + 1}-\frac{2(a - 1)}{a + 1}$
$=\frac{2a - 2(a - 1)}{a + 1}$
$=\frac{2a - 2a + 2}{a + 1}$
$=\frac{2}{a + 1}$

3. 计算：
(1)$(-\frac{a^{2}}{b})^{2}\cdot(-\frac{b^{2}}{a})^{3}÷(ab)^{2}+\frac{2b^{2}}{a}$；
(2)$\frac{3 - a}{2a - 4}÷(a + 2-\frac{5}{a - 2})$。

(1)
首先，根据积的乘方运算法则计算各项：
$(-\frac{a^{2}}{b})^{2}=\frac{a^{4}}{b^{2}}$，$(-\frac{b^{2}}{a})^{3}=-\frac{b^{6}}{a^{3}}$，$(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$。
然后，进行乘除运算：
$\frac{a^{4}}{b^{2}}\cdot(-\frac{b^{6}}{a^{3}})÷ a^{2}b^{2}=\frac{a^{4}}{b^{2}}\cdot(-\frac{b^{6}}{a^{3}})\cdot\frac{1}{a^{2}b^{2}}$
$=-\frac{a^{4}b^{6}}{a^{5}b^{4}}=-\frac{b^{2}}{a}$。
最后，进行加法运算：
$-\frac{b^{2}}{a}+\frac{2b^{2}}{a}=\frac{b^{2}}{a}$。
(2)
首先，对括号内式子进行通分：
$a + 2-\frac{5}{a - 2}=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2}-\frac{5}{a - 2}=\frac{a^{2}-4 - 5}{a - 2}=\frac{a^{2}-9}{a - 2}$。
然后，将除法转化为乘法，并对分子分母因式分解：
$\frac{3 - a}{2a - 4}÷\frac{a^{2}-9}{a - 2}=\frac{3 - a}{2(a - 2)}\cdot\frac{a - 2}{(a + 3)(a - 3)}$。
最后，约分得：
$=-\frac{a - 3}{2(a - 2)}\cdot\frac{a - 2}{(a + 3)(a - 3)}=-\frac{1}{2(a + 3)}=-\frac{1}{2a + 6}$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{b^{2}}{a}$；(2)$-\frac{1}{2a + 6}$。