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4. (2024·江苏常州中考)分解因式：$x^{2}-4xy+4y^{2}=$
$(x-2y)^{2}$
.答案
$(x-2y)^{2}$
解析
$x^{2}-4xy+4y^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 2y+(2y)^{2}=(x-2y)^{2}$
5. (2024·四川广元中考)分解因式：$(a+1)^{2}-4a=$
$(a-1)^{2}$
.答案
$(a-1)^{2}$
解析
$(a+1)^{2}-4a = a^{2}+2a+1 - 4a = a^{2}-2a+1 = (a-1)^{2}$
6. 利用分解因式计算：
(1)$6.5^{2}-13× 3.5+3.5^{2}$；
(2)$101^{2}+101× 198+99^{2}$.
(1)$6.5^{2}-13× 3.5+3.5^{2}$；
(2)$101^{2}+101× 198+99^{2}$.
答案
(1)
$原式=6.5^{2}-2×6.5×3.5 + 3.5^{2}$
$=(6.5 - 3.5)^{2}$
$=3^{2}$
$=9$
(2)
$原式=101^{2}+2×101×99 + 99^{2}$
$=(101 + 99)^{2}$
$=200^{2}$
$=40000$
$原式=6.5^{2}-2×6.5×3.5 + 3.5^{2}$
$=(6.5 - 3.5)^{2}$
$=3^{2}$
$=9$
(2)
$原式=101^{2}+2×101×99 + 99^{2}$
$=(101 + 99)^{2}$
$=200^{2}$
$=40000$
7. 若$x^{2}+2(m-3)x+16是关于x$的完全平方式,则$m$的值为(
A.7
B.$-1$
C.$-1$或 7
D.1 或$-7$
C
)A.7
B.$-1$
C.$-1$或 7
D.1 或$-7$
答案
C
解析
由于$x^{2} + 2(m - 3)x + 16$是完全平方式，它可以表示为$(x + a)^{2}$的形式。
根据完全平方公式，有：
$x^{2} + 2(m - 3)x + 16 = x^{2} + 2ax + a^{2}$
对比系数，可以得到：
$2a = 2(m - 3)$
$a^{2} = 16$
从第二个方程，得到$a = \pm 4$。
将$a$的值代入第一个方程，得到两组
当$a = 4$时，$2 × 4 = 2(m - 3)$，解得$m = 7$。
当$a = -4$时，$2 × (-4) = 2(m - 3)$，解得$m = -1$。
所以，$m$的值为$-1$或$7$。
根据完全平方公式，有：
$x^{2} + 2(m - 3)x + 16 = x^{2} + 2ax + a^{2}$
对比系数，可以得到：
$2a = 2(m - 3)$
$a^{2} = 16$
从第二个方程，得到$a = \pm 4$。
将$a$的值代入第一个方程，得到两组
当$a = 4$时，$2 × 4 = 2(m - 3)$，解得$m = 7$。
当$a = -4$时，$2 × (-4) = 2(m - 3)$，解得$m = -1$。
所以，$m$的值为$-1$或$7$。
8. 已知$a-b= 1$,则$a^{3}-a^{2}b+b^{2}-2ab$的值为
1
.答案
1
解析
$a^3 - a^2b + b^2 - 2ab = a^2(a - b) + (b^2 - 2ab)$，
因为$a - b = 1$，所以$a^2(a - b) = a^2×1 = a^2$，
则原式$= a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$，
又$a - b = 1$，故$(a - b)^2 = 1^2 = 1$。
因为$a - b = 1$，所以$a^2(a - b) = a^2×1 = a^2$，
则原式$= a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$，
又$a - b = 1$，故$(a - b)^2 = 1^2 = 1$。
9. 若$a^{2}+2a+b^{2}-6b+10= 0$,求$a$,$b$的值.
答案
$a^{2} + 2a + b^{2} - 6b + 10 = 0$可变形为：
$(a^{2} + 2a + 1) + (b^{2} - 6b + 9) = 0$，
即$(a + 1)^{2} + (b - 3)^{2} = 0$。
因为$(a + 1)^{2}\geq0$，$(b - 3)^{2}\geq0$，
要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数都为$0$，
可得$a + 1 = 0$，$b - 3 = 0$，
解得$a = - 1$，$b = 3$。
综上，$a$的值为$-1$，$b$的值为$3$。
$(a^{2} + 2a + 1) + (b^{2} - 6b + 9) = 0$，
即$(a + 1)^{2} + (b - 3)^{2} = 0$。
因为$(a + 1)^{2}\geq0$，$(b - 3)^{2}\geq0$，
要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数都为$0$，
可得$a + 1 = 0$，$b - 3 = 0$，
解得$a = - 1$，$b = 3$。
综上，$a$的值为$-1$，$b$的值为$3$。
10. 对于形如$x^{2}-2ax+a^{2}$的二次三项式,可以用公式法将它分解成$(x-a)^{2}$的形式.但对于二次三项式$x^{2}-2ax-3a^{2}$,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式$x^{2}-2ax-3a^{2}中先加上一项a^{2}$,使它与$x^{2}-2ax$的和成为一个完全平方式,再减去$a^{2}$,整个式子的值不变,于是有$x^{2}-2ax-3a^{2}= (x^{2}-2ax+a^{2})-a^{2}-3a^{2}= (x-a)^{2}-4a^{2}= (x-3a)(x+a)$.像这样,先添一适当项,使式子中出现完全平方式,再减去添加的项,使整个式子的值不变的方法称为配方法.利用以上配方法解决下列问题：
(1)分解因式：$a^{2}-4a-5$；
(2)已知$m$是实数,求二次三项式$m^{2}+6m+1$的最小值；
(3)已知$x$是实数,试比较$x^{2}-5x+5与-x^{2}+3x-4$的大小,并说明理由.
(1)分解因式：$a^{2}-4a-5$；
(2)已知$m$是实数,求二次三项式$m^{2}+6m+1$的最小值；
(3)已知$x$是实数,试比较$x^{2}-5x+5与-x^{2}+3x-4$的大小,并说明理由.
答案
(1) $a^2 - 4a - 5$
$=a^2 - 4a + 4 - 4 - 5$
$=(a - 2)^2 - 9$
$=(a - 2)^2 - 3^2$
$=(a - 2 - 3)(a - 2 + 3)$
$=(a - 5)(a + 1)$
(2) $m^2 + 6m + 1$
$=m^2 + 6m + 9 - 9 + 1$
$=(m + 3)^2 - 8$
因为$(m + 3)^2 \geq 0$，所以当$m = -3$时，$(m + 3)^2 = 0$，原式取得最小值$-8$。
(3) 比较$x^2 - 5x + 5$与$-x^2 + 3x - 4$的大小：
作差得$(x^2 - 5x + 5) - (-x^2 + 3x - 4)$
$=x^2 - 5x + 5 + x^2 - 3x + 4$
$=2x^2 - 8x + 9$
$=2(x^2 - 4x) + 9$
$=2[(x^2 - 4x + 4) - 4] + 9$
$=2[(x - 2)^2 - 4] + 9$
$=2(x - 2)^2 - 8 + 9$
$=2(x - 2)^2 + 1$
因为$(x - 2)^2 \geq 0$，所以$2(x - 2)^2 + 1 \geq 1 ＞ 0$，即$x^2 - 5x + 5 ＞ -x^2 + 3x - 4$。
$=a^2 - 4a + 4 - 4 - 5$
$=(a - 2)^2 - 9$
$=(a - 2)^2 - 3^2$
$=(a - 2 - 3)(a - 2 + 3)$
$=(a - 5)(a + 1)$
(2) $m^2 + 6m + 1$
$=m^2 + 6m + 9 - 9 + 1$
$=(m + 3)^2 - 8$
因为$(m + 3)^2 \geq 0$，所以当$m = -3$时，$(m + 3)^2 = 0$，原式取得最小值$-8$。
(3) 比较$x^2 - 5x + 5$与$-x^2 + 3x - 4$的大小：
作差得$(x^2 - 5x + 5) - (-x^2 + 3x - 4)$
$=x^2 - 5x + 5 + x^2 - 3x + 4$
$=2x^2 - 8x + 9$
$=2(x^2 - 4x) + 9$
$=2[(x^2 - 4x + 4) - 4] + 9$
$=2[(x - 2)^2 - 4] + 9$
$=2(x - 2)^2 - 8 + 9$
$=2(x - 2)^2 + 1$
因为$(x - 2)^2 \geq 0$，所以$2(x - 2)^2 + 1 \geq 1 ＞ 0$，即$x^2 - 5x + 5 ＞ -x^2 + 3x - 4$。
