1. 如图,正六边形 $ ABCDEF $ 内接于$ \odot O $,$ OA= 1 $,则 $ AB $ 的长为()

A.$ \frac{1}{2} $
B.1
C.$ \sqrt{3} $
D.2
]

B

因为正六边形ABCDEF内接于⊙O，所以OA=OB=1（半径），且中心角∠AOB=360°÷6=60°。因此，△AOB是等边三角形，故AB=OA=1。

2. 如图,$ F $ 是正五边形 $ ABCDE $ 的边 $ DE $ 的中点,连接 $ BF $ 并延长,与 $ CD $ 的延长线交于点 $ G $,则$ \angle BGC $的度数为()

A.$ 18° $
B.$ 20° $
C.$ 22° $
D.$ 24° $
]

A

1. 正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$540°÷5=108°$，故$\angle CDE=\angle BCD=108°$。
2. $\triangle BCD$中，$BC=CD$（正五边形边长相等），$\angle BCD=108°$，则$\angle CBD=\angle CDB=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
3. $G$在$CD$延长线上，故$\angle EDG=180°-\angle CDE=180°-108°=72°$。
4. 正五边形对角线$BD=BE$，$\triangle BDE$为等腰三角形，$F$为$DE$中点，由三线合一得$BF\perp DE$，即$\angle BFD=90°$。
5. $B,F,G$共线，故$\angle GFD=180°-\angle BFD=90°$。在$\triangle GDF$中，$\angle G=180°-\angle GFD-\angle GDF=180°-90°-72°=18°$，即$\angle BGC=18°$。

3. 如图,这是一幅不完整的正多边形图案.小华量得图中一边与对角线的夹角$ \angle ACB= 15° $,可算出这个正多边形的边数是()

A.9
B.10
C.11
D.12
]

D

设正多边形的边数为$n$，
由于是正多边形，其中心角为$\frac{360^{\circ} }{n}$ ，
根据题目，小华量得图中一边与对角线的夹角$\angle ACB = 15^{\circ}$，
由于正多边形的外角等于中心角，且外角与相邻的内角互补，
所以有：$\frac{180^{\circ} - \frac{360^{\circ} }{n} }{2} = 15^{\circ}$，
这里，$180^{\circ} - \frac{360^{\circ} }{n}$ 是正多边形的一个内角的补角，即相邻的外角，而该外角被平分为两个相等的角，其中一个就是$\angle ACB$。
将上式化简，得到：
$180^{\circ} - \frac{360^{\circ} }{n} = 30^{\circ}$，
$\frac{360^{\circ} }{n} = 150^{\circ}$，
$n = 12$。
经过检验，$n = 12$满足原方程，且符合题意。