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5. 如图,⊙O是一个盛有水的容器的横截面,⊙O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为
16
cm.答案
16
解析
设容器横截面圆心为$O$，过$O$作$OC\perp AB$，交$AB$于点$D$，连接$OA$。
由题意可知$OA = 10cm$，$CD = 4cm$，$OC$为半径$10cm$，则$OD=OC - CD=10 - 4 = 6cm$。
在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{OA^{2}-OD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8cm$。
因为$OC\perp AB$，由垂径定理可知$AB = 2AD$，所以$AB = 16cm$。
由题意可知$OA = 10cm$，$CD = 4cm$，$OC$为半径$10cm$，则$OD=OC - CD=10 - 4 = 6cm$。
在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{OA^{2}-OD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8cm$。
因为$OC\perp AB$，由垂径定理可知$AB = 2AD$，所以$AB = 16cm$。
6. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧$\overset{\frown}{AB}$,点O是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心,C为$\overset{\frown}{AB}$上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB= 300 m,CD= 45 m.则这段弯路的半径为
272.5
m.答案
272.5
解析
设这段弯路的半径为$r$米，则$OA=OC=r$米。因为$OC \perp AB$，根据垂径定理，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×300=150$米。又因为$CD=45$米，所以$OD=OC - CD=r - 45$米。在$Rt\triangle AOD$中，由勾股定理得$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，即$r^{2}=150^{2}+(r - 45)^{2}$。展开得$r^{2}=22500 + r^{2}-90r + 2025$，移项化简得$90r=24525$，解得$r=272.5$。
7. 已知⊙O的半径为13,弦AB= 24,CD= 10,且AB//CD,则弦AB与CD之间的距离为
17或7
.答案
17或7
解析
本题可先根据垂径定理求出圆心到两条弦的距离，再分情况讨论两条弦与圆心的位置关系，进而求出弦$AB$与$CD$之间的距离。
步骤一：根据垂径定理求圆心到弦的距离
设圆心$O$到$AB$的距离为$d_1$，到$CD$的距离为$d_2$，圆的半径$R = 13$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，则$AM=\frac{1}{2}AB = 12$，$CN=\frac{1}{2}CD = 5$。
在由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边）可得：
$d_1=\sqrt{R^{2}-AM^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5$；
$d_2=\sqrt{R^{2}-CN^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
步骤二：分情况讨论弦$AB$与$CD$之间的距离
因为$AB// CD$，所以分两种情况：
当弦$AB$与$CD$在圆心$O$的同侧时，弦$AB$与$CD$之间的距离为$d = d_2 - d_1 = 12 - 5 = 7$；
当弦$AB$与$CD$在圆心$O$的两侧时，弦$AB$与$CD$之间的距离为$d = d_2 + d_1 = 12 + 5 = 17$。
步骤一：根据垂径定理求圆心到弦的距离
设圆心$O$到$AB$的距离为$d_1$，到$CD$的距离为$d_2$，圆的半径$R = 13$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，则$AM=\frac{1}{2}AB = 12$，$CN=\frac{1}{2}CD = 5$。
在由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边）可得：
$d_1=\sqrt{R^{2}-AM^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5$；
$d_2=\sqrt{R^{2}-CN^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
步骤二：分情况讨论弦$AB$与$CD$之间的距离
因为$AB// CD$，所以分两种情况：
当弦$AB$与$CD$在圆心$O$的同侧时，弦$AB$与$CD$之间的距离为$d = d_2 - d_1 = 12 - 5 = 7$；
当弦$AB$与$CD$在圆心$O$的两侧时，弦$AB$与$CD$之间的距离为$d = d_2 + d_1 = 12 + 5 = 17$。
8. 如图,在⊙O中,弦CD⊥直径AB,垂足为E,连接AD.若∠BAD= 30°,BE= 2,求CD的长.
答案
4√3
解析
连接OD，设⊙O的半径为r，则AO=OB=r。
∵BE=2，∴OE=OB-BE=r-2，AE=AO+OE=r+(r-2)=2r-2。
∵CD⊥AB，∴∠AED=90°，△AED为直角三角形，∠BAD=30°，
∴ED=AE·tan30°=(2r-2)·(√3/3)。
∵OD=r，在Rt△OED中，OE²+ED²=OD²，
即(r-2)²+[(2r-2)·√3/3]²=r²。
化简得：(r-2)²+[4(r-1)²·3]/9=r²
(r²-4r+4)+(4/3)(r²-2r+1)=r²
3(r²-4r+4)+4(r²-2r+1)=3r²
3r²-12r+12+4r²-8r+4=3r²
4r²-20r+16=0
r²-5r+4=0
解得r=4（r=1舍去，OE不能为负）。
∴AE=2×4-2=6，ED=6×(√3/3)=2√3。
由垂径定理得CD=2ED=4√3。
∵BE=2，∴OE=OB-BE=r-2，AE=AO+OE=r+(r-2)=2r-2。
∵CD⊥AB，∴∠AED=90°，△AED为直角三角形，∠BAD=30°，
∴ED=AE·tan30°=(2r-2)·(√3/3)。
∵OD=r，在Rt△OED中，OE²+ED²=OD²，
即(r-2)²+[(2r-2)·√3/3]²=r²。
化简得：(r-2)²+[4(r-1)²·3]/9=r²
(r²-4r+4)+(4/3)(r²-2r+1)=r²
3(r²-4r+4)+4(r²-2r+1)=3r²
3r²-12r+12+4r²-8r+4=3r²
4r²-20r+16=0
r²-5r+4=0
解得r=4（r=1舍去，OE不能为负）。
∴AE=2×4-2=6，ED=6×(√3/3)=2√3。
由垂径定理得CD=2ED=4√3。
9. 如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,且P是弦CD的中点.
(1)请在图中作出弦CD,并说明作图依据;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若AP= 2,CD= 8,求⊙O的半径.
(1)请在图中作出弦CD,并说明作图依据;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若AP= 2,CD= 8,求⊙O的半径.
答案
(1) 作图：过点P作AB的垂线，交⊙O于C、D两点，CD即为所求弦。依据：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦。
(2) 设⊙O的半径为r，则OA=OC=r。
∵AP=2，∴OP=OA - AP=r - 2。
∵P是CD中点，CD=8，∴CP=CD/2=4。
∵AB⊥CD，由垂径定理得△OPC为直角三角形，
∴OP² + CP²=OC²，即(r - 2)² + 4²=r²。
展开得r² - 4r + 4 + 16=r²，化简得-4r + 20=0，解得r=5。
答：⊙O的半径为5。
(2) 设⊙O的半径为r，则OA=OC=r。
∵AP=2，∴OP=OA - AP=r - 2。
∵P是CD中点，CD=8，∴CP=CD/2=4。
∵AB⊥CD，由垂径定理得△OPC为直角三角形，
∴OP² + CP²=OC²，即(r - 2)² + 4²=r²。
展开得r² - 4r + 4 + 16=r²，化简得-4r + 20=0，解得r=5。
答：⊙O的半径为5。
