4. 若某二次函数的部分图象如图所示,则其解析式为.

$y=-x^2+2x+3$

由图象可知，函数过点$(0, 3)$，$(1, 3)$的对称轴为$x=1$，且过点$(-1,0)$。
设二次函数的解析式为$y = a(x - 1)^{2} + k$。
将点$(0,3)$，$(-1,0)$代入$y = a(x - 1)^{2} + k$。
$\begin{cases}a+k=3,\\4a + k = 0.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -1,\\k = 4.\end{cases}$
所以函数解析式为$y = -(x - 1)^{2} + 4$，即$y=-x^2+2x+3$。

5. 请写出一个开口向上,且与 $y$ 轴交于点 $(0,-2)$ 的抛物线对应的函数解析式：.

$y = x^2 - 2$（答案不唯一，满足 $a ＞ 0$ 且 $c = -2$ 即可）

抛物线开口向上，则二次项系数 $a ＞ 0$，可设 $a = 1$；与 $y$ 轴交于点 $(0, -2)$，则常数项 $c = -2$；取一次项系数 $b = 0$，可得函数解析式为 $y = x^2 - 2$。

6. 若某抛物线的顶点为 $(-2,3)$,且过点 $(-1,5)$,则该抛物线对应的函数解析式为.

$y = 2x^{2} + 8x + 11$

根据抛物线的顶点式可设抛物线的解析式为 $y = a(x + 2)^{2} + 3$（因为顶点为 $(-2,3)$）。
将点 $(-1,5)$ 代入解析式，即 $5 = a(-1 + 2)^{2} + 3$。
化简得 $5 = a(1)^{2} + 3$，即 $5 = a + 3$。
解得 $a = 2$。
将 $a = 2$ 代入顶点式，得到抛物线的解析式为 $y = 2(x + 2)^{2} + 3$，进一步展开得到 $y = 2x^{2} + 8x + 11$。

7. 若抛物线 $y= -x^{2}$ 平移后经过 $A(1,-2),B(3,-1)$ 两点,则平移后的抛物线的解析式为.

$y = -x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{11}{2}$

设平移后的抛物线解析式为$y = -x^2 + bx + c$。
将点$A(1, -2)$代入得：$-2 = -1 + b + c$，即$b + c = -1$；
将点$B(3, -1)$代入得：$-1 = -9 + 3b + c$，即$3b + c = 8$。
联立方程组$\begin{cases}b + c = -1 \\ 3b + c = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = \frac{9}{2} \\ c = -\frac{11}{2}\end{cases}$。
故平移后的抛物线解析式为$y = -x^2 + \frac{9}{2}x - \frac{11}{2}$。

8. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 $x$ 与纵坐标 $y$ 的对应值如下表.
| $x$ | … | $-1$ | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| $y$ | … | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | … |
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)请在图中的平面直角坐标系中作出这个二次函数的大致图象；
(3)结合图象,直接写出当 $-2＜x＜3$ 时,$y$ 的取值范围.

（1）由表格可知，抛物线过点$( -1,0)$，$(3,0)$，
设抛物线的解析式为$y = a(x + 1)(x - 3)$，
将点$(0,3)$代入$y = a(x + 1)(x - 3)$，
得$3 = a(0 + 1)(0 - 3)$，
即$-3a = 3$，
解得$a = -1$，
所以这个二次函数的解析式为$y = -(x + 1)(x - 3)= -x^{2} + 2x + 3$。
（2）函数图象略（顶点坐标为$(1,4)$，与$x$轴交点为$( -1,0)$，$(3,0)$，过点$(0,3)$，$(2,3)$画抛物线）。
（3）由表格及函数图象可知，当$x = 1$时，$y$有最大值$4$，
当$x = -2$时，$y = -(-2)^{2} + 2× (-2) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5$，
因为$-2＜x＜3$，所以$y$的取值范围是$-5＜y\leqslant4$。