14. 如图①是一个长为$4a$、宽为$b$的长方形,先沿图中虚线用剪刀平均剪成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②).
(1)图②中阴影部分的面积为；
(2)请观察图②,写出$(a+b)^{2},(a-b)^{2},ab$之间的数量关系：；
(3)如图③,通过计算图形的面积可以将整式进行因式分解,因式分解：$3a^{2}+4ab+b^{2}=$.

(1) $(a - b)^2$
(2) $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$
(3) $(3a + b)(a + b)$

已知$m,n$互为相反数,且满足$(m+4)^{2}-(n+4)^{2}= -24$,求$\frac{m^{2}+n^{2}}{2}-mn$的值.

9/2

因为$m$，$n$互为相反数，所以$m + n=0$，即$n=-m$。
$(m + 4)^2-(n + 4)^2=-24$，
$\begin{aligned}[(m + 4)+(n + 4)][(m + 4)-(n + 4)]&=-24\\(m + n + 8)(m - n)&=-24\end{aligned}$
将$m + n=0$代入上式，得$8(m - n)=-24$，即$m - n=-3$。
又因为$n=-m$，所以$m-(-m)=-3$，$2m=-3$，$m=-\frac{3}{2}$，则$n=\frac{3}{2}$。
$\begin{aligned}\frac{m^2 + n^2}{2}-mn&=\frac{m^2 - 2mn + n^2}{2}\\&=\frac{(m - n)^2}{2}\\&=\frac{(-3)^2}{2}\\&=\frac{9}{2}\end{aligned}$
$\frac{9}{2}$