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6. 如图,某数学兴趣小组测量一棵树 CD 的高度,在点 A 处测得树顶 C 的仰角为$45^{\circ }$,在点 B 处测得树顶 C 的仰角为$60^{\circ }$,且 A,B, D 三点在同一直线上.若$AB= 16m$,则这棵树 CD 的高度是 (
A.$8(3-\sqrt {3})m$
B.$8(3+\sqrt {3})m$
C.$6(3-\sqrt {3})m$
D.$6(3+\sqrt {3})m$
A
)A.$8(3-\sqrt {3})m$
B.$8(3+\sqrt {3})m$
C.$6(3-\sqrt {3})m$
D.$6(3+\sqrt {3})m$
答案
A
解析
7. 如图,将一副三角尺摆放在一起,组成四边形 ABCD,连接 AC,则$tan∠ACD$的值为 (
A.2
B.$2+\sqrt {3}$
C.$1+\sqrt {3}$
D.$2\sqrt {2}$
B
)A.2
B.$2+\sqrt {3}$
C.$1+\sqrt {3}$
D.$2\sqrt {2}$
答案
B
解析
以点C为原点建立坐标系，设CD=1，D(1,0)，过D作BD⊥CD且BD=1（等腰直角三角尺），则B(1,1)。设含30°角的三角尺中，∠ADB=30°，过A作AB⊥CD于E，设CE=x，AE=h。由tan∠ACD=h/x，且在Rt△ABE中，BE=1-x，tan30°=h/(1-x)=√3/3，即h=(1-x)√3/3。联立h/x=2+√3，解得h=1/2，x=(2-√3)/2，从而tan∠ACD=2+√3。
8. 如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= BC= 4$.将$△ABC$折叠,使点 A 落在边 BC 上的点 D 处,EF 为折痕.若$AE= 3$,则$sin∠BFD$的值为 (
A.$\frac {1}{3}$
B.$\frac {2\sqrt {2}}{3}$
C.$\frac {\sqrt {2}}{4}$
D.$\frac {3}{5}$
A
)A.$\frac {1}{3}$
B.$\frac {2\sqrt {2}}{3}$
C.$\frac {\sqrt {2}}{4}$
D.$\frac {3}{5}$
答案
A
解析
∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠A=∠B=45°，AC=BC=4.
由折叠性质得：AE=DE=3，∠A=∠EDF=45°.
∵AC=4，AE=3，∴EC=AC-AE=1.
在Rt△ECD中，∠ECD=90°，EC=1，DE=3，
∴CD=√(DE²-EC²)=√(9-1)=2√2，∠EDC=∠BFD（推导过程：∠CDE+∠EDF+∠FDB=180°，∠FDB=135°-∠CDE；在△BFD中，∠B=45°，∠BFD=180°-∠B-∠FDB=∠CDE）.
∴sin∠BFD=sin∠EDC=EC/DE=1/3.
9. 如图,在$△ABC$中,O 是角平分线 AD,BE 的交点.若$AB= AC= 10,BC= 12$,则$tan∠OBD$的值是 (
A.$\frac {1}{2}$
B.2
C.$\frac {\sqrt {6}}{3}$
D.$\frac {\sqrt {6}}{4}$
A
)A.$\frac {1}{2}$
B.2
C.$\frac {\sqrt {6}}{3}$
D.$\frac {\sqrt {6}}{4}$
答案
A
解析
∵AB=AC=10，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=BC/2=6。
在Rt△ABD中，AD=√(AB²-BD²)=√(10²-6²)=8。
O是角平分线AD、BE的交点，即内心，设内心到三边距离为r（OD=r）。
△ABC面积=1/2×BC×AD=1/2×12×8=48，周长=10+10+12=32。
由面积公式S=1/2×r×周长，得48=1/2×r×32，解得r=3，即OD=3。
在Rt△OBD中，tan∠OBD=OD/BD=3/6=1/2。
10. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC= 10,tanA= 2,BE⊥AC$于点 E. D 是线段 BE 上的一个动点,则$CD+\frac {\sqrt {5}}{5}BD$的最小值是(
A.$2\sqrt {5}$
B.$4\sqrt {5}$
C.$5\sqrt {3}$
D.10
B
)A.$2\sqrt {5}$
B.$4\sqrt {5}$
C.$5\sqrt {3}$
D.10
答案
B
解析
在$△ABC$中，$AB=AC=10$，$tanA=2$，$BE⊥AC$于$E$。在$Rt△ABE$中，设$AE=x$，则$BE=2x$，由勾股定理$x^2+(2x)^2=10^2$，解得$x=2\sqrt{5}$，故$BE=4\sqrt{5}$。
要求$CD+\frac{\sqrt{5}}{5}BD$的最小值，注意到$\frac{\sqrt{5}}{5}=sinθ$（其中$sinθ=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$tanθ=\frac{1}{2}$）。构造$∠ABE=θ$（因$tan∠ABE=\frac{AE}{BE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$），过$D$作$AB$的垂线$DF$，则$DF=BD·sinθ=\frac{\sqrt{5}}{5}BD$，故$CD+\frac{\sqrt{5}}{5}BD=CD+DF$。
当$C$、$D$、$F$共线且$CF⊥AB$时，$CD+DF$最小，即$CF$为点$C$到$AB$的距离。由$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BE=\frac{1}{2}×10×4\sqrt{5}=20\sqrt{5}$，又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CF$，得$CF=\frac{2×20\sqrt{5}}{10}=4\sqrt{5}$。
要求$CD+\frac{\sqrt{5}}{5}BD$的最小值，注意到$\frac{\sqrt{5}}{5}=sinθ$（其中$sinθ=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$tanθ=\frac{1}{2}$）。构造$∠ABE=θ$（因$tan∠ABE=\frac{AE}{BE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$），过$D$作$AB$的垂线$DF$，则$DF=BD·sinθ=\frac{\sqrt{5}}{5}BD$，故$CD+\frac{\sqrt{5}}{5}BD=CD+DF$。
当$C$、$D$、$F$共线且$CF⊥AB$时，$CD+DF$最小，即$CF$为点$C$到$AB$的距离。由$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BE=\frac{1}{2}×10×4\sqrt{5}=20\sqrt{5}$，又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CF$，得$CF=\frac{2×20\sqrt{5}}{10}=4\sqrt{5}$。
