23.(本小题 10 分)在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,AD+CD= 1/2BC. 将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到线段 AE,连接 DE.
(1)当 AD= CD= 1 时,请在图①中补全图形,并求 DE 的长；
(2)在图②中取 AE 的中点 F,连接 DF,请用等式表示线段 DF 与 AC 之间的数量关系,并给出证明.

(1) √5；(2) DF=1/2 AC。

(1) 补全图形如图①所示。
以D为原点，BC为x轴，AD为y轴建立坐标系，得D(0,0)，A(0,1)，B(-3,0)，C(1,0)。
向量AB=(-3,-1)，逆时针旋转90°得向量AE=(1,-3)，则E(1,-2)。
DE=√[(1-0)²+(-2-0)²]=√5。
(2) DF=1/2 AC。
证明：以D为原点，BC为x轴，AD为y轴，设AD=h，CD=m，则A(0,h)，C(m,0)，BD=2h+m，B(-(2h+m),0)。
向量AB=(-(2h+m),-h)，旋转90°得向量AE=(h,-(2h+m))，E(h,-h-m)。
AE中点F(h/2,-m/2)，DF=√[(h/2)²+(-m/2)²]=(1/2)√(h²+m²)。
AC=√(m²+h²)，故DF=1/2 AC。