4. 用反证法证明命题时,首先提出与结论相反(或相排斥)的假设. 若一个命题的结论是“$\angle A＞60^{\circ}$”,则与它相反的假设是.

【解析】：
本题考查反证法的应用。反证法是一种通过假设某个命题的结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明原命题成立的方法。在本题中，需要找到一个与原命题“$\angle A＞60^{\circ}$”相反的假设。
根据反证法的原理，与“$\angle A＞60^{\circ}$”相反的假设应该是“$\angle A$不大于$60^{\circ}$”，即“$\angle A \leq 60^{\circ}$”。
【答案】：
$\angle A \leq 60^{\circ}$

5. 在等腰三角形$ABC$中,$B$,$C$为定点,且$AB = AC$,$D为BC$的中点,以$BC为直径作\odot O$,则当$\angle A$$90^{\circ}$时,点$A在\odot O$上；当$\angle A$$90^{\circ}$时,点$A在\odot O$内；当$\angle A$$90^{\circ}$时,点$A在\odot O$外. (均选填“=”“＜”或“＞”)

解：连接AD。
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD=DC。
设BC=2r，则OD=OB=OC=r。
在Rt△ABD中，AD=BD·tan∠ABD= r·tan∠ABD。
∵∠BAC+2∠ABD=180°，
∴∠ABD=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC。
当点A在⊙O上时，AD=OD=r，
则r·tan(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC)=r，
tan(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC)=1，
90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
∠BAC=90°。
当点A在⊙O内时，AD＜r，
r·tan(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC)＜r，
tan(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC)＜1，
90°-$\frac{1}{2}$∠BAC＜45°，
∠BAC＞90°。
当点A在⊙O外时，AD＞r，
r·tan(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC)＞r，
tan(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC)＞1，
90°-$\frac{1}{2}$∠BAC＞45°，
∠BAC＜90°。
=；＞；＜

6. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 6\ cm$,$AD = 8\ cm$.
(1) 若以$A$为圆心,$6\ cm长为半径作\odot A$,则点$B$,$C$,$D$与圆的位置关系是什么？

(2) 若作$\odot A$,使$B$,$C$,$D$三点至少有一点在$\odot A$内,至少有一点在$\odot A$外,则$\odot A的半径r$的取值范围是______.

【解析】：本题主要考查点与圆的位置关系。
（1）在矩形$ABCD$中，$AB=6cm$，$AD=8cm$。
以$A$为圆心，$6cm$为半径作圆$\odot A$。
点$B$：由于$AB=6cm$，等于圆的半径，所以点$B$在$\odot A$上。
点$D$：由于$AD=8cm$，大于圆的半径$6cm$，所以点$D$在$\odot A$外。
点$C$：在矩形中，对角线$AC$的长度可以通过勾股定理计算，$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10cm$。
由于$AC=10cm$，大于圆的半径$6cm$，所以点$C$在$\odot A$外。
（2）作$\odot A$，使$B$，$C$，$D$三点中至少有一点在$\odot A$内，至少有一点在$\odot A$外。
点$B$到$A$的距离是$6cm$，这是三个点中到$A$的最短距离。
点$C$到$A$的距离是$10cm$，这是三个点中到$A$的最长距离。
为了使至少有一点在圆内，半径$r$必须大于$6cm$（即$AB$的长度），这样点$B$就会在圆内。
同时，为了使至少有一点在圆外，半径$r$必须小于$10cm$（即$AC$的长度），这样点$C$就会在圆外。
综合以上两点，得出半径$r$的取值范围是$6cm＜r＜10cm$。
【答案】：(1)点$B$在$\odot A$上，点$D$在$\odot A$外，点$C$在$\odot A$外；
(2)$6\ cm＜r＜10\ cm$。

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 4$,$BC = 3$,$D$,$E分别是AB$,$AC$的中点,$\odot B是以B$为圆心,$BC$为半径的圆,判断点$D$,$E与\odot B$的位置关系,并说明理由.

【解析】：本题考查点和圆的位置关系。
点与圆的位置关系有三种，点在圆内、点在圆上、点在圆外，
他们分别对应：$d＜r$、$d=r$、$d＞r$，
其中$d$为点到圆心的距离，$r$为圆的半径。
由题可知圆$B$的半径$r=BC=3$，
所以只要算出$D$、$E$到$B$的距离$d_{1}$、$d_{2}$，再与$r$比较即可得出结果。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$。
因为$D$是$AB$的中点，
所以$BD=\frac{1}{2}AB=2.5＜3$，
所以点$D$在圆$B$内。
因为$E$是$AC$的中点，
所以$BE=\sqrt{CE^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}＞3$，
所以点$E$在圆$B$外。
【答案】：点$D$在圆$B$内，点$E$在圆$B$外。
理由：因为圆$B$的半径$r=BC=3$，
在$Rt\triangle ABC$中，$AC=4$，$BC=3$，
由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5$。
因为$D$是$AB$的中点，
所以$BD=\frac{1}{2}AB=2.5＜3$，
所以点$D$在圆$B$内。
因为$E$是$AC$的中点，
所以$BE=\sqrt{CE^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}＞3$，
所以点$E$在圆$B$外。

8. 如图,点$O是\triangle ABC$的外心. 若$BC = 24\ cm$,点$O到BC的距离为5\ cm$,求$\triangle ABC$的外接圆的半径.

解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D。
∵点O是△ABC的外心，OD⊥BC，
∴BD=DC=BC/2=24/2=12cm，OD=5cm。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
OB²=BD²+OD²=12²+5²=144+25=169，
∴OB=13cm。
即△ABC的外接圆的半径为13cm。