【例题2】如图,两个同心圆,大圆的弦$AB$,$CD$相等,弦$AB切小圆于点E$,那么弦$CD$是小圆的切线吗？为什么？

思路导引 题目中并没有说明直线$CD$与小圆有公共点,要判断$CD$是不是小圆的切线,可过点$O$作垂线,证明垂线段与半径相等.
解：弦$CD$是小圆的切线. 理由如下：连接$OE$,$OA$,$OD$,过点$O作OF\perp CD$,垂足为$F$.
$\because弦AB切小圆于点E$,$\therefore OE\perp AB$. 由垂径定理,得$AE= \frac{1}{2}AB$,$DF= \frac{1}{2}CD$. $\because AB= CD$,$\therefore AE= DF$. 又$OA= OD$,$\angle OEA= \angle OFD= 90°$. $\therefore Rt\triangle AOE\cong Rt\triangle DOF$. $\therefore OE= OF$. $\therefore弦CD$是小圆的切线.

1. 如图,$AB是\odot O$的直径,$AC是\odot O$的弦,过点$C的切线交AB的延长线于点D$. 若$\angle D= 54^\circ$,则$\angle A$的度数为().

A.$18^\circ$
B.$20^\circ$
C.$23^\circ$
D.$27^\circ$

解：连接OC。
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°。
∵∠D=54°，
∴∠COD=180°-∠OCD-∠D=180°-90°-54°=36°。
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA。
∵∠COD是△AOC的外角，
∴∠COD=∠A+∠OCA=2∠A。
∴∠A=∠COD÷2=36°÷2=18°。
答案：A

2. 如图,已知$\triangle ABC内接于\odot O$,$BC是\odot O$的直径,$MN与\odot O$相切,切点为$A$. 若$\angle MAB= 35^\circ$,则$\angle B= $().
A.$40^\circ$
B.$55^\circ$
C.$65^\circ$
D.$70^\circ$

证明：连接OA。
∵MN与⊙O相切于点A，
∴OA⊥MN（切线的性质定理），
∴∠OAM=90°。
∵∠MAB=35°，
∴∠OAB=∠OAM - ∠MAB=90° - 35°=55°。
∵OA=OB（同圆半径相等），
∴∠B=∠OAB=55°。
答案：B

3. 如图,在$\triangle OMN$中,$OM= ON= 13 cm$,$MN= 24 cm$,以点$O$为圆心,$5 cm$长为半径作圆,则$\odot O与直线MN$的位置关系是().
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断

【解析】：本题可先求出圆心$O$到直线$MN$的距离，再与圆的半径比较大小，进而判断圆与直线的位置关系。
过点$O$作$OA\perp MN$于点$A$，因为$OM = ON$，根据等腰三角形三线合一的性质可知$A$为$MN$中点，则$MA=\frac{1}{2}MN$。
已知$MN = 24cm$，所以$MA=\frac{1}{2}×24 = 12cm$。
在$Rt\triangle OMA$中，$OM = 13cm$，$MA = 12cm$，根据勾股定理$OA=\sqrt{OM^{2}-MA^{2}}$，可得：
$OA=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5cm$。
已知圆的半径$r = 5cm$，而圆心$O$到直线$MN$的距离$d = OA = 5cm$，即$d = r$。
根据圆与直线的位置关系判定：当$d\gt r$时，圆与直线相离；当$d = r$时，圆与直线相切；当$d\lt r$时，圆与直线相交。
所以$\odot O$与直线$MN$的位置关系是相切。
【答案】：B

4. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^\circ$,$AD平分\angle BAC$,且与$BC相交于点D$,$O为AB$上一点,经过点$A$,$D的\odot O分别交AB$,$AC于点E$,$F$,连接$OF交AD于点G$. 求证：$BC是\odot O$的切线.

证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD//AC．
∵∠C=90°，
∴∠ODC=∠C=90°，即OD⊥BC．
∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．