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1. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(
①$$ x^{2} + 2x + 1 $$；②$$ 4a^{2} - 4a - 1 $$；③$$ m^{2} + m + \frac{1}{4} $$；④$$ 4m^{2} + 2mn + n^{2} $$；⑤$$ 1 + 16y^{2} $$.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
)①$$ x^{2} + 2x + 1 $$；②$$ 4a^{2} - 4a - 1 $$；③$$ m^{2} + m + \frac{1}{4} $$；④$$ 4m^{2} + 2mn + n^{2} $$；⑤$$ 1 + 16y^{2} $$.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
A
解析
①$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}$，符合完全平方公式；②$4a^{2}-4a-1$，常数项为$-1$，不符合完全平方公式；③$m^{2}+m+\frac{1}{4}=(m+\frac{1}{2})^{2}$，符合完全平方公式；④$4m^{2}+2mn+n^{2}$，中间项应为$4mn$，不符合完全平方公式；⑤$1+16y^{2}$，缺少中间项，不符合完全平方公式。能用完全平方公式分解因式的有①③，共2个。
2. 若多项式$ x^{2} + 10x + m^{2} $能够用完全平方公式分解因式,则参数 m 的值为(
$A. 5 B. -5 C. 25 D. \pm 5 $
D
)$A. 5 B. -5 C. 25 D. \pm 5 $
答案
D
解析
根据完全平方公式的形式，应有：$x^{2} + 10x + m^{2} = (x + a)^{2}$，
其中，$2a = 10$，从而得到$a = 5$，
进一步，$a^{2} = 25$，与$m^{2}$相等，即：$m^{2} = 25$，
解这个方程，得到$m = \pm 5$。
其中，$2a = 10$，从而得到$a = 5$，
进一步，$a^{2} = 25$，与$m^{2}$相等，即：$m^{2} = 25$，
解这个方程，得到$m = \pm 5$。
3. 对于任意的$$ x $$,多项式$$ 4x^{2} - 4x + 1 $$的值(
A.一定是正数
B.一定是负数
C.不可能为正
D.不可能为负
D
)A.一定是正数
B.一定是负数
C.不可能为正
D.不可能为负
答案
D
解析
$4x^{2}-4x+1=(2x-1)^{2}$，因为任何数的平方都大于等于0，所以$(2x-1)^{2}\geq0$，即多项式的值不可能为负。
4. 分解因式：
(1)$$ 4x^{3}y + 4x^{2}y^{2} + xy^{3} = $$
(2)$$ 4(x + 2)(x - 3) + 25 = $$
(1)$$ 4x^{3}y + 4x^{2}y^{2} + xy^{3} = $$
$xy(2x + y)^{2}$
；(2)$$ 4(x + 2)(x - 3) + 25 = $$
$(2x - 1)^{2}$
.答案
(1) $xy(2x + y)^{2}$
(2) $(2x - 1)^{2}$
(2) $(2x - 1)^{2}$
解析
(1) 原式 $4x^{3}y + 4x^{2}y^{2} + xy^{3}$
$= xy(4x^{2} + 4xy + y^{2})$ （提取公因式 $xy$）
$= xy(2x + y)^{2}$ （应用完全平方公式）
(2) 原式 $4(x + 2)(x - 3) + 25$
$= 4(x^{2} - x - 6) + 25$ （展开括号）
$= 4x^{2} - 4x - 24 + 25$
$= 4x^{2} - 4x + 1$
$= (2x - 1)^{2}$ （应用完全平方公式）
$= xy(4x^{2} + 4xy + y^{2})$ （提取公因式 $xy$）
$= xy(2x + y)^{2}$ （应用完全平方公式）
(2) 原式 $4(x + 2)(x - 3) + 25$
$= 4(x^{2} - x - 6) + 25$ （展开括号）
$= 4x^{2} - 4x - 24 + 25$
$= 4x^{2} - 4x + 1$
$= (2x - 1)^{2}$ （应用完全平方公式）
5. 分解因式：
(1)$$ a^{2} + 10a + 25 $$；
(2)$$ 4a^{2} - 12ab + 9b^{2} $$；
(3)$$ -12m^{4} + 12m^{2}n - 3n^{2} $$；
(4)$$ (x^{2} + y^{2})^{2} - 4x^{2}y^{2} $$；
(5)$$ (a + b)^{3} - (a - b)^{2}(a + b) $$.
(1)$$ a^{2} + 10a + 25 $$；
(2)$$ 4a^{2} - 12ab + 9b^{2} $$；
(3)$$ -12m^{4} + 12m^{2}n - 3n^{2} $$；
(4)$$ (x^{2} + y^{2})^{2} - 4x^{2}y^{2} $$；
(5)$$ (a + b)^{3} - (a - b)^{2}(a + b) $$.
答案
(1)$a^{2} + 10a + 25=(a+5)^{2}$
(2)$4a^{2} - 12ab + 9b^{2}=(2a-3b)^{2}$
(3)$-12m^{4} + 12m^{2}n - 3n^{2}=-3(4m^{4}-4m^{2}n+n^{2})=-3(2m^{2}-n)^{2}$
(4)$(x^{2} + y^{2})^{2} - 4x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$
(5)$(a + b)^{3} - (a - b)^{2}(a + b)=(a+b)[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}]=(a+b)(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(a+b)\cdot2a\cdot2b=4ab(a+b)$
(2)$4a^{2} - 12ab + 9b^{2}=(2a-3b)^{2}$
(3)$-12m^{4} + 12m^{2}n - 3n^{2}=-3(4m^{4}-4m^{2}n+n^{2})=-3(2m^{2}-n)^{2}$
(4)$(x^{2} + y^{2})^{2} - 4x^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2}+2xy)(x^{2}+y^{2}-2xy)=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$
(5)$(a + b)^{3} - (a - b)^{2}(a + b)=(a+b)[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}]=(a+b)(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(a+b)\cdot2a\cdot2b=4ab(a+b)$
6. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有一部分多项式仅用上述方法仍无法分解.如$$ x^{2} - 2xy + y^{2} - 16 $$,通过观察,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合,再应用平方差公式进行分解：$$ x^{2} - 2xy + y^{2} - 16 = (x^{2} - 2xy + y^{2}) - 16 = (x - y)^{2} - 4^{2} = (x - y + 4)(x - y - 4) $$,这种分解因式的方法叫分组分解法.
利用分组分解法分解因式：
(1)$$ 4x^{2} + 12xy + 9y^{2} - 9 $$；
(2)$$ 25a^{2} + 10ab - m^{2} + b^{2} + 6mn - 9n^{2} $$.
利用分组分解法分解因式：
(1)$$ 4x^{2} + 12xy + 9y^{2} - 9 $$；
(2)$$ 25a^{2} + 10ab - m^{2} + b^{2} + 6mn - 9n^{2} $$.
答案
(1)
$4x^{2} + 12xy + 9y^{2} - 9$
$=(4x^{2} + 12xy + 9y^{2}) - 9$
$=(2x + 3y)^{2} - 3^{2}$
$=(2x + 3y + 3)(2x + 3y - 3)$
(2)
$25a^{2} + 10ab - m^{2} + b^{2} + 6mn - 9n^{2}$
$=(25a^{2} + 10ab + b^{2}) - (m^{2} - 6mn + 9n^{2})$
$=(5a + b)^{2} - (m - 3n)^{2}$
$=(5a + b + m - 3n)(5a + b - m + 3n)$
$4x^{2} + 12xy + 9y^{2} - 9$
$=(4x^{2} + 12xy + 9y^{2}) - 9$
$=(2x + 3y)^{2} - 3^{2}$
$=(2x + 3y + 3)(2x + 3y - 3)$
(2)
$25a^{2} + 10ab - m^{2} + b^{2} + 6mn - 9n^{2}$
$=(25a^{2} + 10ab + b^{2}) - (m^{2} - 6mn + 9n^{2})$
$=(5a + b)^{2} - (m - 3n)^{2}$
$=(5a + b + m - 3n)(5a + b - m + 3n)$
例 1 下列式子由左边到右边的变形符合因式分解概念的是(
A.$3x^{3}-6x^{2}+4 = 3x^{2}(x - 2)+4$
B.$a^{2}+4a - 21 = (a + 2)^{2}-25$
C.$(a - 3)(a + 7)= a^{2}+4a - 21$
D.$a^{2}+4a - 21 = (a - 3)(a + 7)$
D
)A.$3x^{3}-6x^{2}+4 = 3x^{2}(x - 2)+4$
B.$a^{2}+4a - 21 = (a + 2)^{2}-25$
C.$(a - 3)(a + 7)= a^{2}+4a - 21$
D.$a^{2}+4a - 21 = (a - 3)(a + 7)$
答案
D
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A，右边$3x^{2}(x - 2)+4$不是积的形式，不符合因式分解概念。
选项B，右边$(a + 2)^{2}-25$不是积的形式，不符合因式分解概念。
选项C，是整式乘法，不是因式分解。
选项D，把$a^{2}+4a - 21$化成了$(a - 3)(a + 7)$两个整式的积的形式，符合因式分解概念。
选项A，右边$3x^{2}(x - 2)+4$不是积的形式，不符合因式分解概念。
选项B，右边$(a + 2)^{2}-25$不是积的形式，不符合因式分解概念。
选项C，是整式乘法，不是因式分解。
选项D，把$a^{2}+4a - 21$化成了$(a - 3)(a + 7)$两个整式的积的形式，符合因式分解概念。
