例1 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 04； (2)-0.034；
(3)0.000 000 45； (4)0.003 009。
名师导引 用科学记数法表示数,关键是正确确定$a及n$的值。

(1) $0.00004 = 4 × 10^{-5}$
(2) $-0.034 = -3.4 × 10^{-2}$
(3) $0.00000045 = 4.5 × 10^{-7}$
(4) $0.003009 = 3.009 × 10^{-3}$

(1)$4×10^{-5}$
(2)$-3.4×10^{-2}$
(3)$4.5×10^{-7}$
(4)$3.009×10^{-3}$

变式训练 科学家发现某种病毒的直径为0.000 000 020 5米,这一数据用科学记数法表示为米。

$2.05×10^{-8}$

科学记数法表示较小的数，一般形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为由原数左边起第一个不为零的数字前面的$0$的个数所决定。$0.0000000205$左边起第一个不为零的数字是$2$，它前面有$8$个$0$，所以$n=8$，$a=2.05$，故用科学记数法表示为$2.05×10^{-8}$。

例2 用小数表示下列各数：
(1)$3 × 10^{-5}$；(2)$2.03 × 10^{-4}$；(3)$-8.6 × 10^{-3}$。
名师导引 求$a × 10^{-n}$的原数时,只需将$a的小数点向左移动n$位即可。

(1)
解：根据$a×10^{-n}$（$n$为正整数）的原数求法，将$3$看作$3.0$，把小数点向左移动$5$位，可得$3×10^{-5}=0.00003$。
(2)
解：把$2.03$的小数点向左移动$4$位，可得$2.03×10^{-4}=0.000203$。
(3)
解：把$-8.6$的小数点向左移动$3$位，可得$-8.6×10^{-3}=-0.0086$。

变式训练 $-3.01 × 10^{-7}$化为小数为。

$-0.000000301$

根据科学记数法的定义，$a × 10^{-n}$（其中$1\leqslant \vert a\vert＜10$，$n$为正整数）表示的数等于把$a$的小数点向左移动$n$位。
对于$-3.01×10^{-7}$，把$-3.01$的小数点向左移动$7$位，得到$-0.000000301$。

例3 计算：(用科学记数法表示结果)
(1)$(2 × 10^{-5}) × (3 × 10^{-2})$；
(2)$(8 × 10^{6}) ÷ (-2 × 10^{-4})$；
(3)$(-9 × 10^{-3}) ÷ (-3 × 10^{7})^{-2}$。
名师导引 对用科学记数法$(a × 10^{n})$表示的数进行运算时,可类比单项式的乘除运算法则进行,$a$相当于单项式的系数,10相当于单项式中相同的字母。

(1)
$原式 = 2×3×10^{-5 - 2}= 6×10^{-7}$。
(2)
$原式=[8÷(-2)]×10^{6 - (-4)}=-4×10^{10}$。
(3)
因为$(-3×10^{7})^{-2}=\frac{1}{9}×10^{-14}$，
则$原式=(-9)÷\frac{1}{9}×10^{-3-(-14)}=- 81×10^{11}=-8.1×10^{12}$。

变式训练 计算：
(1)$(5 × 10^{-3}) × (3 × 10^{-3})$；
(2)$(2 × 10^{-4}) ÷ (-2 × 10^{-7})^{-3}$。

(1)
$(5×10^{-3})×(3×10^{-3})$
$=(5×3)×(10^{-3}×10^{-3})$
$ = 15×10^{-6}$
$=1.5×10^{-5}$
(2)
先根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a\neq0,p为正整数)$对$(-2×10^{-7})^{-3}$进行化简：
$(-2×10^{-7})^{-3}=(-2)^{-3}×(10^{-7})^{-3}$
$=-\frac{1}{8}×10^{21}$
再计算$(2×10^{-4})÷(-2×10^{-7})^{-3}$：
$(2×10^{-4})÷(-\frac{1}{8}×10^{21})$
$=(2÷(-\frac{1}{8}))×(10^{-4}÷10^{21})$
$=(2×(-8))×10^{-4 - 21}$
$=-16×10^{-25}$
$=-1.6×10^{-24}$
综上，答案依次为：(1)$1.5×10^{-5}$；(2)$-1.6×10^{-24}$。

1. 自然界中数学无处不在,如蜜蜂是最顶尖精密的“房屋设计师”,它们建造的蜂房厚度仅为0.000 073米。0.000 073用科学记数法表示为()
A.$7.3 × 10^{-5}$
B.$73 × 10^{-6}$
C.$0.73 × 10^{-4}$
D.$7.3 × 10^{-4}$

A

将$0.000073$用科学记数法表示，需将其转化为$a×10^n$的形式，其中$1\leq a＜10$，$n$为整数。
原数$0.000073$的小数点需向右移动5位得到$7.3$，故$n=-5$，即$0.000073=7.3×10^{-5}$。

2. 到了春天,许多地方柳絮如雪花般漫天飞舞。据测定某种柳絮纤维的直径约为0.000 100 8米,则该纤维直径用科学记数法表示为()
A.$10.08 × 10^{-4}$米
B.$1.008 × 10^{-4}$米
C.$1.008 × 10^{-5}$米
D.$1.008 × 10^{-6}$米

B

科学记数法表示小于1的正数形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数。0.0001008左边起第一个不为零的数字为1，它前面有4个0，所以$n=4$，$a=1.008$，故表示为$1.008×10^{-4}$米。