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8. 某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销量,增加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.商场经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,那么商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场想要平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元？
(2)商场有可能平均每天盈利1300元吗？若有可能,应降价多少元？
(1)若商场想要平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元？
(2)商场有可能平均每天盈利1300元吗？若有可能,应降价多少元？
答案
(1) 设每件衬衫降价$x$元。
根据题意，降价$x$元后，每件衬衫的赢利为$40 - x$元，每天可售出的数量为$20 + 2x$件。
因此，商场每天的盈利为：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
展开得：
$800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$
整理得：
$2x^2 - 60x + 400 = 0$
除以2得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得：
$x_1 = 10, \quad x_2 = 20$
由于题目要求尽快减少库存，因此应选择降价更多的方案，即$x = 20$。
答：每件衬衫应降价20元。
(2) 假设商场能达到平均每天盈利1300元的目标，设此时每件衬衫降价$y$元。
则每天的盈利为：
$(40 - y)(20 + 2y) = 1300$
展开得：
$800 + 80y - 20y - 2y^2 = 1300$
整理得：
$2y^2 - 60y + 500 = 0$
除以2得：
$y^2 - 30y + 250 = 0$
计算判别式：
$\Delta = (-30)^2 - 4 × 1 × 250 = 900 - 1000 = -100$
由于$\Delta ＜ 0$，方程无实数解。
答：商场不可能实现平均每天盈利1300元的目标。
根据题意，降价$x$元后，每件衬衫的赢利为$40 - x$元，每天可售出的数量为$20 + 2x$件。
因此，商场每天的盈利为：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
展开得：
$800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$
整理得：
$2x^2 - 60x + 400 = 0$
除以2得：
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得：
$x_1 = 10, \quad x_2 = 20$
由于题目要求尽快减少库存，因此应选择降价更多的方案，即$x = 20$。
答：每件衬衫应降价20元。
(2) 假设商场能达到平均每天盈利1300元的目标，设此时每件衬衫降价$y$元。
则每天的盈利为：
$(40 - y)(20 + 2y) = 1300$
展开得：
$800 + 80y - 20y - 2y^2 = 1300$
整理得：
$2y^2 - 60y + 500 = 0$
除以2得：
$y^2 - 30y + 250 = 0$
计算判别式：
$\Delta = (-30)^2 - 4 × 1 × 250 = 900 - 1000 = -100$
由于$\Delta ＜ 0$，方程无实数解。
答：商场不可能实现平均每天盈利1300元的目标。
9. 某地为引导旅客消费,计划在5月至9月开展全城推广活动.某旅行社为吸引市民组团去旅游,推出了如下收费标准：如果人数不超过25人,人均旅游费用为2000元；如果超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低40元,但人均旅游费用不得低于1700元.某单位组织员工去旅游,共支付给该旅行社旅游费用54000元,该单位这次共有多少位员工去旅游？
答案
设该单位这次共有$x$个员工去旅游。
因为$25 × 2000 = 50000\lt54000$，所以员工人数$x\gt25$。
超过$25$人的人数为$(x - 25)$人，人均旅游费用降低$40(x - 25)$元，则人均旅游费用为$[2000 - 40(x - 25)]$元。
根据旅游总费用$=$人均旅游费用$×$人数，可列方程：
$x[2000 - 40(x - 25)] = 54000$
$x(2000 - 40x + 1000) = 54000$
$x(3000 - 40x) = 54000$
$3000x - 40x^{2} = 54000$
$40x^{2} - 3000x + 54000 = 0$
$x^{2} - 75x + 1350 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2} - 75x + 1350 = 0$中，$a = 1$，$b = -75$，$c = 1350$，则：
$\Delta =b^{2}-4ac=(-75)^{2}-4×1×1350=5625 - 5400 = 225$
$x=\frac{75\pm\sqrt{225}}{2×1}=\frac{75\pm15}{2}$
解得$x_{1} = \frac{75 + 15}{2} = 45$，$x_{2} = \frac{75 - 15}{2} = 30$。
当$x = 45$时，人均旅游费用为$2000 - 40×(45 - 25)=2000 - 800 = 1200\lt1700$，不符合题意，舍去。
当$x = 30$时，人均旅游费用为$2000 - 40×(30 - 25)=2000 - 200 = 1800\gt1700$，符合题意。
综上，该单位这次共有$30$位员工去旅游。
因为$25 × 2000 = 50000\lt54000$，所以员工人数$x\gt25$。
超过$25$人的人数为$(x - 25)$人，人均旅游费用降低$40(x - 25)$元，则人均旅游费用为$[2000 - 40(x - 25)]$元。
根据旅游总费用$=$人均旅游费用$×$人数，可列方程：
$x[2000 - 40(x - 25)] = 54000$
$x(2000 - 40x + 1000) = 54000$
$x(3000 - 40x) = 54000$
$3000x - 40x^{2} = 54000$
$40x^{2} - 3000x + 54000 = 0$
$x^{2} - 75x + 1350 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$，求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2} - 75x + 1350 = 0$中，$a = 1$，$b = -75$，$c = 1350$，则：
$\Delta =b^{2}-4ac=(-75)^{2}-4×1×1350=5625 - 5400 = 225$
$x=\frac{75\pm\sqrt{225}}{2×1}=\frac{75\pm15}{2}$
解得$x_{1} = \frac{75 + 15}{2} = 45$，$x_{2} = \frac{75 - 15}{2} = 30$。
当$x = 45$时，人均旅游费用为$2000 - 40×(45 - 25)=2000 - 800 = 1200\lt1700$，不符合题意，舍去。
当$x = 30$时，人均旅游费用为$2000 - 40×(30 - 25)=2000 - 200 = 1800\gt1700$，符合题意。
综上，该单位这次共有$30$位员工去旅游。
10. 已知王爷爷自家果园的春橙有两种类型在售,一种是实惠装中型果实(简称“中果”),一种是豪华装大型果实(简称“大果”).
(1)小张买了2箱中果和1箱大果,花了116元；小李买了1箱中果和2箱大果,花了124元.每箱中果和大果的售价分别是多少元？
(2)在(1)的条件下,正常情况平均每周可销售30箱大果.王爷爷决定对大果降价销售,经调查发现,一箱大果的售价每降低2元,大果的销量每周可增加5箱,如果大果每周的销售额为1800元且售价不低于30元,每箱大果的售价应该降低多少元？
(1)小张买了2箱中果和1箱大果,花了116元；小李买了1箱中果和2箱大果,花了124元.每箱中果和大果的售价分别是多少元？
(2)在(1)的条件下,正常情况平均每周可销售30箱大果.王爷爷决定对大果降价销售,经调查发现,一箱大果的售价每降低2元,大果的销量每周可增加5箱,如果大果每周的销售额为1800元且售价不低于30元,每箱大果的售价应该降低多少元？
答案
(1) 设每箱中果的售价为 $x$ 元，每箱大果的售价为 $y$ 元。
根据题意，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}2x + y = 116, \\x + 2y = 124.\end{cases}$解这个方程组，我们得到：
$\begin{cases}x = 36, \\y = 44.\end{cases}$
答：每箱中果的售价是 36 元，每箱大果的售价是 44 元。
(2) 设每箱大果的售价应该降低 $m$ 元。
根据题意，降价后的大果售价为 $44 - m$ 元，销量增加为 $30 + \frac{m}{2} × 5 = 30 + 2.5m$ 箱。
因此，降价后的大果每周销售额为 $(44 - m)(30 + 2.5m)$ 元。
根据题意，这个销售额应该等于 1800 元，所以我们有方程：
$(44 - m)(30 + 2.5m) = 1800$，
展开并整理得：
$1320 + 110m - 30m - 2.5m^2 = 1800$，
进一步整理得：
$2.5m^2 - 80m + 480 = 0$，
$m^2 - 32m + 192 = 0$，
$(m-8)(m-24) = 0$，
解得 $m_1 = 8$， $m_2 = 24$。
当 $m = 8$ 时，售价为 $44 - 8 = 36$ 元，高于 30 元，符合题意；
当 $m = 24$ 时，售价为 $44 - 24 = 20$ 元，低于 30 元，不符合题意，舍去。
答：每箱大果的售价应该降低 8 元。
根据题意，我们可以列出以下方程组：
$\begin{cases}2x + y = 116, \\x + 2y = 124.\end{cases}$解这个方程组，我们得到：
$\begin{cases}x = 36, \\y = 44.\end{cases}$
答：每箱中果的售价是 36 元，每箱大果的售价是 44 元。
(2) 设每箱大果的售价应该降低 $m$ 元。
根据题意，降价后的大果售价为 $44 - m$ 元，销量增加为 $30 + \frac{m}{2} × 5 = 30 + 2.5m$ 箱。
因此，降价后的大果每周销售额为 $(44 - m)(30 + 2.5m)$ 元。
根据题意，这个销售额应该等于 1800 元，所以我们有方程：
$(44 - m)(30 + 2.5m) = 1800$，
展开并整理得：
$1320 + 110m - 30m - 2.5m^2 = 1800$，
进一步整理得：
$2.5m^2 - 80m + 480 = 0$，
$m^2 - 32m + 192 = 0$，
$(m-8)(m-24) = 0$，
解得 $m_1 = 8$， $m_2 = 24$。
当 $m = 8$ 时，售价为 $44 - 8 = 36$ 元，高于 30 元，符合题意；
当 $m = 24$ 时，售价为 $44 - 24 = 20$ 元，低于 30 元，不符合题意，舍去。
答：每箱大果的售价应该降低 8 元。
