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10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle BAC= 30^{\circ}$,$BC= 2$,边BC上有一动点D,作点B关于直线AD的对称点$B'$,在点D从点B运动到点C的过程中,点$B'$的运动路径长为(
A.$\frac{\pi}{3}$
B.$\frac{2\pi}{3}$
C.$\frac{4\pi}{3}$
D.$\frac{8\pi}{3}$
C
)A.$\frac{\pi}{3}$
B.$\frac{2\pi}{3}$
C.$\frac{4\pi}{3}$
D.$\frac{8\pi}{3}$
答案
C
解析
在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle BAC=30^{\circ}$，$BC=2$，则$AB=2BC=4$。
因为点$B$与$B'$关于直线$AD$对称，所以$AB'=AB=4$，即点$B'$在以$A$为圆心，$AB$长为半径的圆上。
当点$D$与点$B$重合时，$AD$与$AB$重合，点$B'$与点$B$重合；当点$D$与点$C$重合时，$AD$为$AC$，此时$\angle BAC=30^{\circ}$，则$\angle B'AC=\angle BAC=30^{\circ}$，所以点$B'$运动的圆心角为$2×30^{\circ}=60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$弧度。
点$B'$的运动路径长为弧长：$\frac{\pi}{3}×4=\frac{4\pi}{3}$。
C
因为点$B$与$B'$关于直线$AD$对称，所以$AB'=AB=4$，即点$B'$在以$A$为圆心，$AB$长为半径的圆上。
当点$D$与点$B$重合时，$AD$与$AB$重合，点$B'$与点$B$重合；当点$D$与点$C$重合时，$AD$为$AC$，此时$\angle BAC=30^{\circ}$，则$\angle B'AC=\angle BAC=30^{\circ}$，所以点$B'$运动的圆心角为$2×30^{\circ}=60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$弧度。
点$B'$的运动路径长为弧长：$\frac{\pi}{3}×4=\frac{4\pi}{3}$。
C
11. 一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球(除颜色外其余都相同),从中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{3}{4}$,则n的值为
9
.答案
9
解析
由题意得，布袋中球的总数为$n + 3$个，从中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{n}{n + 3}$。
已知摸出红球的概率为$\frac{3}{4}$，则可列方程：$\frac{n}{n + 3} = \frac{3}{4}$
方程两边同乘$4(n + 3)$得：$4n = 3(n + 3)$
去括号得：$4n = 3n + 9$
移项得：$4n - 3n = 9$
解得：$n = 9$
9
已知摸出红球的概率为$\frac{3}{4}$，则可列方程：$\frac{n}{n + 3} = \frac{3}{4}$
方程两边同乘$4(n + 3)$得：$4n = 3(n + 3)$
去括号得：$4n = 3n + 9$
移项得：$4n - 3n = 9$
解得：$n = 9$
9
12. 若圆锥的母线为10,底面半径为6,则圆锥的侧面积为
$60\pi$
.答案
$60\pi$
解析
圆锥的侧面积公式为$S = \pi rl$（其中$r$为底面半径，$l$为母线）。已知底面半径$r = 6$，母线$l = 10$，则侧面积$S=\pi×6×10 = 60\pi$。
$60\pi$
$60\pi$
13. 如图,$\odot O$的直径AB平分弦CD(不是直径).若$\angle D= 35^{\circ}$,则$\angle C= $
55°
.答案
55°
14. 如图,假设可以随意在图中取点,那么这个点取在阴影部分的概率是
由于您没有提供题目中的图形，无法确定阴影部分和整个图形的面积关系，所以无法计算该点取在阴影部分的概率。请您补充图形信息，以便我为您解答。
答案
由于您没有提供题目中的图形，无法确定阴影部分和整个图形的面积关系，所以无法计算该点取在阴影部分的概率。请您补充图形信息，以便我为您解答。
解析
由于题目未提供图形，无法确定阴影部分与整个图形的面积关系，无法计算概率。
15. 若关于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}+4x+2= 0$有两个实数根,则m的取值范围是
$m \leq 4$且$m \neq 2$
.答案
$m \leq 4$且$m \neq 2$
解析
∵方程是一元二次方程，
∴$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$。
∵方程有两个实数根，
∴$\Delta = 4^2 - 4(m - 2)×2 \geq 0$，
$16 - 8(m - 2) \geq 0$，
$16 - 8m + 16 \geq 0$，
$-8m + 32 \geq 0$，
$-8m \geq -32$，
$m \leq 4$。
综上，$m$的取值范围是$m \leq 4$且$m \neq 2$。
16. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= 90^{\circ}$,$AB= 6\ cm$,$BC= 8\ cm$,点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿BC向点C以2 cm/s的速度移动,当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动,当$\triangle PBQ的面积是9\ cm^{2}$,PQ的长为
$ 3\sqrt{5} $
cm.答案
$ 3\sqrt{5} $
解析
设运动时间为$ t\ s $，则$ AP = t\ cm $，$ BQ = 2t\ cm $。
因为$ AB = 6\ cm $，所以$ PB = AB - AP = (6 - t)\ cm $。
$\triangle PBQ$的面积为$ \frac{1}{2} × PB × BQ $，依题意得：
$\frac{1}{2}(6 - t)(2t) = 9$
化简得：$ (6 - t)t = 9 $，即$ t^2 - 6t + 9 = 0 $，解得$ t = 3 $。
当$ t = 3 $时，$ PB = 6 - 3 = 3\ cm $，$ BQ = 2 × 3 = 6\ cm $。
在$Rt\triangle PBQ$中，由勾股定理得：
$PQ = \sqrt{PB^2 + BQ^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\ cm$
$ 3\sqrt{5} $
因为$ AB = 6\ cm $，所以$ PB = AB - AP = (6 - t)\ cm $。
$\triangle PBQ$的面积为$ \frac{1}{2} × PB × BQ $，依题意得：
$\frac{1}{2}(6 - t)(2t) = 9$
化简得：$ (6 - t)t = 9 $，即$ t^2 - 6t + 9 = 0 $，解得$ t = 3 $。
当$ t = 3 $时，$ PB = 6 - 3 = 3\ cm $，$ BQ = 2 × 3 = 6\ cm $。
在$Rt\triangle PBQ$中，由勾股定理得：
$PQ = \sqrt{PB^2 + BQ^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\ cm$
$ 3\sqrt{5} $
17. 如图,《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于公元前450年雕刻的青铜雕塑,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓,弧长约为$\frac{5}{8}\pi\ m$,“弓”所在的圆的半径约1.25 m,则“弓”所对的圆心角大小为______
90°
.答案
90°
解析
设“弓”所对的圆心角大小为$n^{\circ}$，
根据弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中$l = \frac{5}{8}\pi\ m$，$r = 1.25\ m$，
可得$\frac{n\pi × 1.25}{180} = \frac{5}{8}\pi$，
两边同时除以$\pi$：$\frac{n × 1.25}{180} = \frac{5}{8}$，
$n = \frac{5}{8} × 180 ÷ 1.25$，
$n = \frac{5}{8} × 180 × \frac{4}{5}$，
$n = 90$。
90°
根据弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中$l = \frac{5}{8}\pi\ m$，$r = 1.25\ m$，
可得$\frac{n\pi × 1.25}{180} = \frac{5}{8}\pi$，
两边同时除以$\pi$：$\frac{n × 1.25}{180} = \frac{5}{8}$，
$n = \frac{5}{8} × 180 ÷ 1.25$，
$n = \frac{5}{8} × 180 × \frac{4}{5}$，
$n = 90$。
90°
18. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 6$,$BC= 4$,E是边AC上的动点,以CE为直径作$\odot F$,连接BE交$\odot F$于点D,则AD的最小值为______
2√10 - 2
.答案
2√10 - 2
解析
连接CD，取BC中点O，连接OD，OA。
∵CE为直径，
∴∠CDE=90°，即∠CDB=90°。
∵O为BC中点，BC=4，
∴OD=OC=OB=2。
在Rt△ACO中，AC=6，OC=2，∠ACO=90°，
∴OA=√(AC²+OC²)=√(6²+2²)=√40=2√10。
∵AD≥OA-OD，当A、D、O三点共线时取等号，
∴AD的最小值为OA-OD=2√10 - 2。
2√10 - 2
∵CE为直径，
∴∠CDE=90°，即∠CDB=90°。
∵O为BC中点，BC=4，
∴OD=OC=OB=2。
在Rt△ACO中，AC=6，OC=2，∠ACO=90°，
∴OA=√(AC²+OC²)=√(6²+2²)=√40=2√10。
∵AD≥OA-OD，当A、D、O三点共线时取等号，
∴AD的最小值为OA-OD=2√10 - 2。
2√10 - 2
