1. 一个密码箱的密码,每个数位上的数都是从0到9的自然数.若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于$\frac{1}{2024}$,则密码的位数至少是()
A.3位
B.4位
C.5位
D.6位

B

设密码的位数为$n$位。
每位数有10种可能，密码总组合数为$10^n$。
一次拨对密码的概率为$\frac{1}{10^n}$。
要使$\frac{1}{10^n} ＜ \frac{1}{2024}$，则$10^n ＞ 2024$。
$10^3 = 1000$，$10^4 = 10000$。
因为$1000 ＜ 2024 ＜ 10000$，所以$n$至少为4。
B

2. 把一副普通扑克牌中的5张牌洗匀后,正面向下放在桌子上,其中有1张“黑桃”,2张“梅花”和2张“红桃”,从中随机抽取一张,恰好是“梅花”的概率是()
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

C

总共有5张牌，其中“梅花”有2张，所以随机抽取一张恰好是“梅花”的概率是$\frac{2}{5}$。
C

3. 从$-1,0,\pi,3,\sqrt{2}$这五个数中任选一个数,选出的这个数是无理数的概率为.

$\frac{2}{5}$

$-1,0,3$是有理数，$\pi,\sqrt{2}$是无理数，共5个数，无理数有2个，所以概率为$\frac{2}{5}$。

4. 如图,将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色,再把它分割成棱长为1的小正方体,将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀,随机取出一个小正方体,只有一个面被涂色的概率为.

2/9

棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，总数为$3×3×3 = 27$个。
只有一个面被涂色的小正方体在每个面的中心区域，每个面有$(3 - 2)×(3 - 2)=1×1 = 1$个，6个面共有$6×1 = 6$个。
概率为$\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$。
$\frac{2}{9}$

5. 从$-3,-2,-1,0,1,2,3这七个数中随机抽取一个数记为a$,则$a的值是不等式组\begin{cases} 3x+5＞0.5x, \\ 2x＜3+6x \end{cases} $的解,但不是方程$x^2-3x+2= 0$的实数解的概率为______.

B

解不等式组$\begin{cases}3x + 5 ＞ 0.5x \\2x ＜ 3 + 6x\end{cases}$：
解$3x + 5 ＞ 0.5x$，得$2.5x ＞ -5$，即$x ＞ -2$；
解$2x ＜ 3 + 6x$，得$-4x ＜ 3$，即$x ＞ -\frac{3}{4}$；
不等式组的解集为$x ＞ -\frac{3}{4}$。
解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，得$(x - 1)(x - 2) = 0$，即$x = 1$或$x = 2$。
从$-3,-2,-1,0,1,2,3$中，满足$x ＞ -\frac{3}{4}$的数有$0,1,2,3$；其中不是方程解的数为$0,3$，共$2$个。
总共有$7$个数，所以概率为$\frac{2}{7}$。
$\frac{2}{7}$

6. 如图,一个均匀的转盘被平均分成6等份,分别标有2,3,4,5,6,7这六个数字,转动转盘,当转盘停止时,指针指向的数字即为转出的数字.
(1)转动转盘,转出的数字大于4的概率是多少？
(2)小明手中现有两张分别写有数字3和4的卡片,要随机转动转盘,转盘停止后记下转出的数字,与小明手中两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度.
① 这三条线段能构成直角三角形的概率是多少？
② 这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？

(1) $ \frac{1}{2} $；(2) ① $ \frac{1}{6} $；② $ \frac{1}{3} $

(1) 转盘被平均分成6等份，标有数字2,3,4,5,6,7，共有6种等可能结果。转出的数字大于4的有5,6,7，共3种结果，所以概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
(2) ① 小明手中卡片数字为3和4，转盘转出数字为$x$，三条线段长度为3,4,$x$。能构成直角三角形需满足勾股定理：
若$x$为斜边，则$3^2 + 4^2 = x^2$，$x=5$；
若4为斜边，则$3^2 + x^2 = 4^2$，$x=\sqrt{7}$（非整数，转盘无此数字）。
只有$x=5$符合，共1种结果，概率为$\frac{1}{6}$。
② 能构成等腰三角形需有两边相等：
当$x=3$时，三条线段为3,4,3，能构成等腰三角形；
当$x=4$时，三条线段为3,4,4，能构成等腰三角形；
$x=2,5,6,7$时，均不能构成等腰三角形。
共2种结果，概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。