2. 如图,$\triangle ABC$ 的角平分线 $BD$ 和 $CE$ 相交于点 $O$,连接 $AO$,若 $\angle BAC = 70^{\circ}$,则 $\angle OAE = $ 。

35°

∵BD、CE是△ABC的角平分线且交于点O，∴点O是△ABC的内心，∴AO平分∠BAC。∵∠BAC=70°，∴∠OAE=∠BAC/2=35°。

1. 如图,$CD$,$CE$,$CF$ 分别是 $\triangle ABC$ 的高、角平分线和中线,则下列各式中错误的是()

A.$AB = 2BF$
B.$\angle ACE= \frac{1}{2}\angle ACB$
C.$AE = BE$
D.$CD\perp BE$

C

A. 由于$CF$是中线，根据中线的定义，它平分对应的底边，即$AB=2BF$，所以A选项是正确的。
B. 由于$CE$是角平分线，根据角平分线的定义，它平分对应的角，即$\angle ACE=\frac{1}{2} \angle ACB$，所以B选项是正确的。
C. $E$点为角平分线$CE$和$AB$边的交点，并没有说明$E$是$AB$边的中点，所以不能得出$AE=BE$，所以C选项是错误的。
D. 由于$CD$是三角形的高，根据高的定义，它垂直于对应的底边$AB$（更准确地说是垂直于$AB$或其延长线），即$CD\bot AB$，由于$BE$是$AB$的一部分，所以$CD\bot BE$，D选项是正确的。

2. 若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都不对

C

锐角三角形三条高的交点在三角形内部；钝角三角形三条高的交点在三角形外部；直角三角形三条高的交点恰是直角顶点。所以三条高的交点是三角形一个顶点的三角形是直角三角形。

3. 如图,在方格纸中,点 $A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$,$G$ 均在格点上,则 $\triangle ABC$ 的重心是()

A.点 $G$
B.点 $D$
C.点 $E$
D.点 $F$

B

在△ABC中，分别作出两边的中线。取AC中点，连接该中点与B；取BC中点，连接该中点与A。两条中线的交点为D，故重心是点D。

4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,如果过点 $B$ 作 $PB\perp BC$ 交边 $AC$ 于点 $P$,过点 $C$ 作 $CQ\perp AB$ 交 $AB$ 的延长线于点 $Q$,那么图中线段 ____是 $\triangle ABC$ 的一条高。

CQ

根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。在△ABC中，CQ是过顶点C向对边AB所在直线作的垂线，垂足为Q，所以CQ是△ABC的一条高。PB是过点B垂直于BC，BC是△ABC的边，不符合高的定义。

5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$CD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,$DE// BC$,交 $AC$ 于点 $E$,若 $\angle ACB = 60^{\circ}$,则 $\angle EDC$ 为 。

1. 首先，根据角平分线的定义：
因为$CD$是$\triangle ABC$的角平分线，$\angle ACB = 60^{\circ}$，根据角平分线公式$\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB$（若$CD$平分$\angle ACB$，则$\angle BCD = \angle ECD$）。
所以$\angle BCD=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$。
2. 然后，根据平行线的性质：
已知$DE// BC$，根据两直线平行，内错角相等的性质（若$DE// BC$，则$\angle EDC=\angle BCD$，这是平行线性质定理：$a// b$，$c$为截线，则内错角相等，即$\angle 1=\angle 2$，这里$a = DE$，$b = BC$，$c = CD$）。
所以$\angle EDC = 30^{\circ}$。
故答案为：$30^{\circ}$。

6. 等腰三角形一条腰上的中线将它的周长分成 $12$ 和 $9$ 两部分,求腰长。

设等腰三角形的腰长为 $x$，底边长为 $y$。
根据题意，一腰上的中线将三角形的周长分成 $12$ 和 $9$ 两部分。
分两种情况考虑：
第一种情况：
$\begin{cases}\frac{1}{2}x + x = 12, \\frac{1}{2}x + y = 9.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 8, \\y = 5.\end{cases}$
经检验，符合三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
第二种情况：
$\begin{cases}\frac{1}{2}x + x = 9, \\frac{1}{2}x + y = 12.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 6, \\y = 9 .\end{cases}$
经检验，$6 + 6＞ 9$，$9 - 6 ＜ 6$，符合三角形的三边关系；
综上所述，腰长 $x$ 可以为 $8$ 或 $6$。