15. (★★★)18 世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式. 请你观察下图所示的几种简单多面体模型,解答下列问题.

(1)根据上面的多面体模型,完成下面的表格:
|多面体|顶点数(V)|面数(F)|棱数(E)|
|四面体|4|4||
|长方体|8|6|12|
|正八面体||8|12|
|正十二面体|20|12|30|
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是.
(2)一个多面体的面数比顶点数大 8,且有 30 条棱,则这个多面体的面数是.
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有 24 个顶点,每个顶点处都有 3 条棱. 设该多面体外表面三角形的个数为 x,八边形的个数为 y,求 x + y 的值.

$(1)$
- 对于四面体：根据棱数的计算方法（$E=\frac{3×4}{2}=6$，因为四面体每个面有$3$条边，每条边被$2$个面共用）。
- 对于正八面体：根据欧拉公式$V + F-E=2$，已知$F = 8$，$E = 12$，则$V=E - F + 2=12-8 + 2=6$。
- 观察可得关系式：$V+F - E=2$。
$(2)$
设顶点数$V=x$，则面数$F=x + 8$，棱数$E = 30$。
根据欧拉公式$V+F-E=2$，即$x+(x + 8)-30=2$。
化简方程：$2x-22 = 2$。
移项可得：$2x=2 + 22$，即$2x=24$，解得$x = 12$。
那么面数$F=x + 8=12 + 8=20$。
$(3)$
- 已知顶点数$V = 24$，每个顶点处都有$3$条棱，由于每条棱被$2$个顶点共用，所以棱数$E=\frac{3×24}{2}=36$。
- 根据欧拉公式$V+F-E=2$，可得面数$F=E - V+2=36-24 + 2=14$，即$x + y=F=14$。
综上，答案依次为：$(1)$$6$，$6$，$\boldsymbol{V + F-E=2}$；$(2)$$\boldsymbol{20}$；$(3)$$\boldsymbol{14}$。