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8. (2024 巴蜀阶段练习)如图,将等腰直角三角形 $ ABC $ 绕锐角顶点 $ A $ 顺时针旋转 $ 30^{\circ} $ 后得到 $ \triangle AB'C' $,点 $ B $ 经过的路径为 $ \overset{\frown}{BB'} $,$ AC = \sqrt{2} $,则图中阴影部分的面积是(
A.$ \frac{\pi + 3}{3} $
B.$ 1 $
C.$ \pi $
D.$ \frac{\pi}{3} $
D
)A.$ \frac{\pi + 3}{3} $
B.$ 1 $
C.$ \pi $
D.$ \frac{\pi}{3} $
答案
D
解析
∵△ABC是等腰直角三角形，A为锐角顶点，AC=√2，
∴∠C=90°，AC=BC=√2，AB=√(AC²+BC²)=√(2+2)=2。
将△ABC绕点A顺时针旋转30°得△AB'C'，则AB=AB'=2，∠BAB'=30°，S△ABC=S△AB'C'。
点B路径为弧BB'，阴影部分面积等于扇形ABB'的面积（由旋转性质及图形关系可知阴影部分为扇形ABB'）。
扇形ABB'面积：圆心角30°，半径AB=2，
∴S扇形ABB'= (30/360)π×AB²= (1/12)π×4=π/3。
1. 连接圆锥的
顶点
和底面圆周上任意一点的线段叫圆锥的母线.答案
顶点
解析
根据圆锥母线的定义，连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫圆锥的母线。
2. 圆锥的侧面展开图是一个
思考 如图,设圆锥的底面半径为$r$,母线长为$l$,则圆锥的侧面积为
扇
形,扇形的半径为圆锥的母线
长,扇形的弧长是圆锥底面圆的周长
.思考 如图,设圆锥的底面半径为$r$,母线长为$l$,则圆锥的侧面积为
$\pi rl$
,圆锥的全面积为$\pi rl+\pi r^2$
.答案
扇；母线；周长；$\pi rl$；$\pi rl+\pi r^2$
解析
圆锥的侧面展开图是扇形，扇形半径为圆锥母线长，弧长是圆锥底面圆周长。圆锥侧面积为扇形面积，扇形弧长为$2\pi r$，半径为$l$，侧面积$S_侧=\frac{1}{2}×2\pi r× l=\pi rl$；全面积为侧面积加底面积，底面积$\pi r^2$，故$S_全=\pi rl+\pi r^2$。
探究 与圆锥侧面展开图有关的计算
例 如图,用一个半径为$30cm$、面积为$300\pi cm^{2}$的扇形铁皮制作一个无底的圆锥(不计损耗),求圆锥的底面半径.
名师导引 遇到与圆锥侧面展开图有关的计算时,常常需要画出圆锥及其侧面展开图(扇形),这有助于我们理解和运用圆锥中各元素与扇形中各元素之间的关系.再结合弧长公式和扇形的面积公式,这类问题可迎刃而解.
例 如图,用一个半径为$30cm$、面积为$300\pi cm^{2}$的扇形铁皮制作一个无底的圆锥(不计损耗),求圆锥的底面半径.
名师导引 遇到与圆锥侧面展开图有关的计算时,常常需要画出圆锥及其侧面展开图(扇形),这有助于我们理解和运用圆锥中各元素与扇形中各元素之间的关系.再结合弧长公式和扇形的面积公式,这类问题可迎刃而解.
答案
设圆锥的底面半径为$r$，扇形的半径为$R = 30cm$，扇形面积为$S = 300\pi cm^2$。
1. 求扇形的弧长：
扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$（$l$为弧长），
则$300\pi=\frac{1}{2}× l×30$，
解得$l = 20\pi cm$。
2. 求圆锥底面半径：
圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2\pi r = l$，
则$2\pi r=20\pi$，
解得$r = 10cm$。
结论：圆锥的底面半径为$10cm$。
1. 求扇形的弧长：
扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$（$l$为弧长），
则$300\pi=\frac{1}{2}× l×30$，
解得$l = 20\pi cm$。
2. 求圆锥底面半径：
圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2\pi r = l$，
则$2\pi r=20\pi$，
解得$r = 10cm$。
结论：圆锥的底面半径为$10cm$。
变式训练 若一个圆锥的底面半径的长为$2$,母线的长为$6$,则该圆锥侧面展开图的圆心角是
120
$^{\circ}$.答案
$120$
解析
圆锥的底面半径为$2$，因此底面的周长为$2\pi × 2 = 4\pi$。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n^{\circ}$，由于圆锥的母线长为$6$，则侧面展开图的弧长即为底面的周长，即$4\pi$。
根据弧长公式，弧长$ = \frac{n\pi × 母线}{180}$，
代入已知数值，有$4\pi = \frac{n\pi × 6}{180}$。
解这个方程，得到$n = 120$。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n^{\circ}$，由于圆锥的母线长为$6$，则侧面展开图的弧长即为底面的周长，即$4\pi$。
根据弧长公式，弧长$ = \frac{n\pi × 母线}{180}$，
代入已知数值，有$4\pi = \frac{n\pi × 6}{180}$。
解这个方程，得到$n = 120$。
1. (2024无锡中考)已知圆锥的底面圆半径为$3$,母线长为$4$,则圆锥的侧面积为(
A.$6\pi$
B.$12\pi$
C.$15\pi$
D.$24\pi$
B
)A.$6\pi$
B.$12\pi$
C.$15\pi$
D.$24\pi$
答案
B
解析
圆锥的侧面积公式为$S=\pi rl$，其中$r$为底面圆半径，$l$为母线长。
已知圆锥底面圆半径$r = 3$，母线长$l = 4$，将其代入公式可得$S=\pi×3×4 = 12\pi$。
已知圆锥底面圆半径$r = 3$，母线长$l = 4$，将其代入公式可得$S=\pi×3×4 = 12\pi$。
2. (2025恩施一模)已知一块圆心角为$300^{\circ}$的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥的底面圆的直径是$80$,则这块扇形铁皮的半径为(
A.$12$
B.$24$
C.$48$
D.$96$
C
)A.$12$
B.$24$
C.$48$
D.$96$
答案
C
解析
圆锥底面圆的直径为80，则底面圆的周长为$π×80=80π$。扇形的圆心角为$300^{\circ}$，设扇形半径为$R$，扇形弧长公式为$\frac{nπR}{180}$，则扇形弧长为$\frac{300πR}{180}=\frac{5πR}{3}$。因为扇形弧长等于圆锥底面圆周长，所以$\frac{5πR}{3}=80π$，解得$R=48$。
3. (2024镇江二模)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 6$,$BC = 8$,以$AC$所在直线为轴,把$\triangle ABC$旋转一周,得到一个圆锥,这个圆锥的侧面积为
$80\pi$
.(结果保留$\pi$)答案
$80\pi$
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。以$AC$所在直线为轴旋转一周得到圆锥，底面半径$r=BC=8$，母线长$l=AB=10$。圆锥侧面积公式为$S=\pi rl$，所以侧面积$S=\pi×8×10=80\pi$。
