6. (2024 镇江一模)如图,点$A$,$O$在网格中小正方形的顶点处,每个小方格的边长为$1$,该网格中有两个格点(小正方形的顶点)$B$,$C$,使点$O为\triangle ABC$的外心,则$BC$的长度是()

A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$4$
D.$\sqrt{17}$

C

因为点O为△ABC的外心，所以OA=OB=OC，即A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上，且B、C为格点。首先确定OA的长度，设网格中O点坐标为(x₀,y₀)，A点坐标为(x₁,y₁)，通过勾股定理计算得OA=2√5（半径平方为20）。圆O上的格点满足x²+y²=20，格点有(±2,±4)、(±4,±2)。其中A为一个格点，取另外两个格点B(4,2)、C(4,-2)，计算BC距离：√[(4-4)²+(-2-2)²]=√[0+16]=4。

1. 直线和圆的位置关系：相交，即直线和圆有两个公共点；相切，即直线和圆只有一个公共点；相离，即直线和圆没有公共点.
2. 设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$，则有：直线$l$和圆相交$\Leftrightarrow d$$r$；直线$l$和圆相切$\Leftrightarrow d$$r$；直线$l$和圆相离$\Leftrightarrow d$$r$.
注意：直线与圆的位置关系，决定了圆心到直线的距离$d$与圆的半径$r$的数量关系，反之，亦然.
探究 直线与圆的位置关系

$ \lt$，$=$，$\gt$

根据直线与圆的位置关系可知：
当直线和圆相交时，圆心到直线的距离$d$小于圆的半径$r$，即$d\lt r$；
当直线和圆相切时，圆心到直线的距离$d$等于圆的半径$r$，即$d = r$；
当直线和圆相离时，圆心到直线的距离$d$大于圆的半径$r$，即$d\gt r$。

例 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$BC= 3$,$AC= 4$,以点$C$为圆心,$2.5$为半径画圆,则$\odot C与直线AB$的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定
名师导引 判断直线与圆的位置关系,可转化为判断圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系,由数量关系即可确定位置关系.

A

在$Rt \triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$, $BC=3$, $AC=4$。
根据勾股定理$AB^2 = AC^2 + BC^2$，可得：
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$。
设点$C$到直线$AB$的距离为$d$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2} × 底×高$，
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot d$，
即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5\cdot d$，
解得$d = \frac{3×4}{5}= 2.4$。
已知圆$C$的半径$r = 2.5$，因为$d=2.4\lt r = 2.5$，所以直线$AB$与圆$C$相交。

变式训练 $\odot O的半径为3$,点$O到直线l上的距离为d$,若直线$l与\odot O$没有公共点,则$d$的取值范围是()
A.$d＜3$
B.$d＞3$
C.$d= 3$
D.$d\leqslant 3$

B

根据直线与圆的位置关系，当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离。此时圆心到直线的距离$d$大于圆的半径。已知圆的半径为$3$，所以$d ＞ 3$。

1. (2024巴蜀阶段练习)已知$\odot O的半径为3$,圆心$O到直线l的距离为2$,则$\odot O与直线l$的位置关系是()
A.相切
B.相交
C.相离
D.相交或相离

B

已知圆的半径$r=3$，圆心到直线的距离$d=2$。比较$d$与$r$的大小，若$d ＜ r$，则直线与圆相交；若$d = r$，则直线与圆相切；若$d ＞ r$，则直线与圆相离。
由于$2 ＜ 3$，即$d ＜ r$，所以直线$l$与圆$\odot O$相交。

2. (2024巴南区期末)已知$\odot O的半径为3$,圆心$O到直线l的距离为4$,则直线$l与\odot O$的公共点的个数为()
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.以上都不对

A

已知圆$O$半径$r = 3$，圆心$O$到直线$l$的距离$d = 4$。因为$d = 4 ＞ r = 3$，根据直线和圆的位置关系判定：当$d ＞ r$时，直线与圆相离，没有公共点。所以直线$l$与$\odot O$的公共点个数为$0$。

3. (2024广州阶段练习)已知圆的半径为$6.5\mathrm{cm}$,如果圆心到直线$l的距离为5.5\mathrm{cm}$,那么直线$l$和这个圆的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.相交或相离

A

已知圆的半径 $ r = 6.5\mathrm{cm} $，圆心到直线 $ l $ 的距离 $ d = 5.5\mathrm{cm} $。因为 $ d = 5.5\mathrm{cm} ＜ r = 6.5\mathrm{cm} $，根据直线和圆的位置关系判定：当 $ d ＜ r $ 时，直线与圆相交。