9. 若等腰三角形的两边长分别为 $ 3\mathrm{cm} $ 和 $ 8\mathrm{cm} $,则它的周长为 。

$19cm$（按题目要求这里应填数值，若题目是填空题形式则直接填$19$）

本题可根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系来确定该等腰三角形的三边长度，进而求出其周长。
步骤一：分析等腰三角形的腰可能的情况
等腰三角形的两腰长度相等，已知该等腰三角形两边长分别为$3cm$和$8cm$，所以分两种情况讨论：
情况一：当腰长为$3cm$时，三边长分别为$3cm$，$3cm$，$8cm$。
情况二：当腰长为$8cm$时，三边长分别为$8cm$，$8cm$，$3cm$。
步骤二：根据三角形三边关系判断上述两种情况是否成立
三角形三边关系为：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
对于情况一，$3 + 3 = 6\lt 8$，不满足三角形三边关系，所以这种情况不成立。
对于情况二，$8 + 3 = 11\gt 8$，$8 + 8 = 16\gt 3$，$8 - 3 = 5\lt 8$，$8 - 8 = 0\lt 3$，满足三角形三边关系，所以这种情况成立。
步骤三：计算该等腰三角形的周长
因为情况二成立，此时三角形三边长分别为$8cm$，$8cm$，$3cm$，根据三角形周长的定义：三角形的周长是三角形三边长度之和，可得该等腰三角形的周长为$8 + 8 + 3 = 19cm$。

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 40^{\circ} $,$ \angle B = 72^{\circ} $,$ CE $ 平分 $ \angle ACB $,$ CD\perp AB $ 于点 $ D $,$ DF\perp CE $,则 $ \angle CDF = $ 。

74°

在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，由三角形内角和定理得∠ACB=180°-40°-72°=68°。
CE平分∠ACB，故∠BCE=∠ACB/2=34°。
CD⊥AB，∠CDB=90°，在Rt△CDB中，∠BCD=90°-∠B=90°-72°=18°。
∠DCE=∠BCE-∠BCD=34°-18°=16°。
DF⊥CE，∠DFC=90°，在Rt△DFC中，∠CDF=90°-∠DCE=90°-16°=74°。

11. 如图,$ \triangle ABC $ 的面积是 $ 1 $,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线,$ AF = \frac{1}{2}FD $,$ CE = \frac{1}{2}EF $,则 $ \triangle DEF $ 的面积为 ______。

2/9

∵AD是△ABC中线，S△ABC=1，∴S△ABD=S△ACD=1/2。
∵AF=1/2FD，∴AF:FD=1:2，△AFC与△FCD等高，面积比=AF:FD=1:2，∴S△FCD=2/3S△ACD=2/3×1/2=1/3。
∵CE=1/2EF，∴CE:EF=1:2，EF=2/3CF，△DEF与△DCF等高，面积比=EF:CF=2:3，∴S△DEF=2/3S△DCF=2/3×1/3=2/9。

12. 如图,$ \angle A = 100^{\circ} $,$ B $,$ C $ 是射线 $ AM $,$ AN $ 上的动点,$ \angle ACB $ 的平分线和 $ \angle MBC $ 的平分线所在的直线相交于点 $ D $,则 $ \angle D $ 的度数为 。

50°

设∠ACB=2α，CD平分∠ACB，则∠BCD=α。∠MBC是△ABC的外角，故∠MBC=∠A+∠ACB=100°+2α。BD平分∠MBC，所以∠MBD=∠CBD=(100°+2α)/2=50°+α。在△DBC中，∠MBD是外角，所以∠MBD=∠D+∠BCD，即50°+α=∠D+α，解得∠D=50°。

13. 如图,$ AB// CD $,$ AE $ 交 $ CD $ 于点 $ C $,$ DE\perp AE $,垂足为 $ E $。$ \angle A = 37^{\circ} $,求 $ \angle D $ 的度数。

∵AB//CD，∠A=37°，
∴∠ECD=∠A=37°（两直线平行，同位角相等）。
∵DE⊥AE，
∴∠DEC=90°。
在△DEC中，∠D=180°-∠DEC-∠ECD=180°-90°-37°=53°。
答：∠D的度数为53°。

14. 已知 $ a $,$ b $,$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,$ a = 4 $,$ b = 6 $,若 $ \triangle ABC $ 的周长是小于 $ 18 $ 的偶数。
(1)求 $ c $ 的值；
(2)判断 $ \triangle ABC $ 的形状。

(1)
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
已知$a = 4$，$b = 6$，则$b - a\lt c\lt a + b$，即$6 - 4\lt c\lt4 + 6$，$2\lt c\lt10$。
又因为三角形周长$L=a + b + c=4 + 6 + c=10 + c\lt18$，所以$c\lt8$。
且周长$10 + c$是偶数，$a + b = 10$是偶数，那么$c$也为偶数。
结合$2\lt c\lt8$且$c$为偶数，所以$c$的值为$4$或$6$。
(2)
当$c = 4$时，$a = c = 4$，$b = 6$，有两条边相等的三角形是等腰三角形，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
当$c = 6$时，$b = c = 6$，$a = 4$，有两条边相等的三角形是等腰三角形，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
综上，(1)$c$的值为$4$或$6$；(2)$\triangle ABC$是等腰三角形。

15. 如图,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的高,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AD $ 于点 $ E $。若 $ \angle C = 76^{\circ} $,$ \angle BED = 64^{\circ} $,求 $ \angle BAC $ 的度数。

∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°。
在△BED中，∠EDB=∠ADB=90°，∠BED=64°，
∴∠EBD=180°-∠EDB-∠BED=180°-90°-64°=26°。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBD=2×26°=52°。
在△ABC中，∠ABC=52°，∠C=76°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-52°-76°=52°。
∠BAC的度数为52°。