能够用如图16.3 - 1中图形的面积说明的等式是()

A.$a(a + 4)= a^{2}+4a$
B.$(a + 4)(a - 4)= a^{2}-16$
C.$(a + 2)(a - 2)= a^{2}-4$
D.$(a + 2)^{2}= a^{2}+4a + 4$

C

观察图形，大长方形的长为$a + 2$，宽为$a - 2$，其面积为$(a + 2)(a - 2)$。同时，该图形可看作边长为$a$的大正方形减去边长为$2$的小正方形，面积为$a^2 - 2^2 = a^2 - 4$。故等式为$(a + 2)(a - 2)=a^2 - 4$。

1. 计算：
(1)$(x + 3)(x - 3)=$；
(2)$(a - b)(-b - a)=$；
(3)$(2ab - n)(2ab + n)=$.

(1) $x^2 - 9$
(2) $b^2 - a^2$
(3) $4a^2b^2 - n^2$

(1) 根据平方差公式 $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$，设 $A = x$，$B = 3$，则：
$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$
(2) 将 $(a - b)(-b - a)$ 调整顺序为 $(-b + a)(-b - a)$，即 $A = -b$，$B = a$，根据平方差公式：
$(a - b)(-b - a) = (-b)^2 - a^2 = b^2 - a^2$
(3) 设 $A = 2ab$，$B = n$，根据平方差公式：
$(2ab - n)(2ab + n) = (2ab)^2 - n^2 = 4a^2b^2 - n^2$

2. 如图1,从边长为$a的正方形纸片中减去一个边长为b$的小正方形,再沿着线段$AB$剪开,把剪开的两张纸拼成如图2所示的等腰梯形.利用这两幅图形的面积,可以验证的乘法公式是.

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

图1面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$。图2为等腰梯形，上底为$2b$，下底为$2a$，高为$a - b$，面积为$\frac{(2b + 2a)(a - b)}{2} = (a + b)(a - b)$。两图面积相等，故验证乘法公式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。

3. 已知$a + b = 10$,$a - b = 8$,则$a^{2}-b^{2}= $.

$80$

根据平方差公式，有$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$。
将已知的$a + b = 10$和$a - b = 8$代入上式，得到：
$a^{2} - b^{2} = 10 × 8 = 80$。

4. 下列计算正确的是()

A.$(a - 4)(a + 4)= a^{2}-4$
B.$(2x - 3)(2x + 3)= 2x^{2}-9$
C.$(4xy + 1)(4xy - 1)= 16x^{2}y^{2}-1$
D.$(-a + 3)(a - 3)= a^{2}-9$

C

A. 根据平方差公式，$(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$，与 $a^2 - 4$ 不符，故 A 错误；
B. 根据平方差公式，$(2x - 3)(2x + 3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$，与 $2x^2 - 9$ 不符，故 B 错误；
C. 根据平方差公式，$(4xy + 1)(4xy - 1) = (4xy)^2 - 1^2 = 16x^2y^2 - 1$，与题目一致，故 C 正确；
D. 根据平方差公式的变形$(−a+b)(−a−b)=a^2−b^2$，但此处为$(-a + 3)(a - 3)=- (a - 3)(a - 3)= - (a - 3)^2$，与 $a^2 - 9$ 不符，故 D 错误。

5. 在等式$(-3x^{2}-4y^{2})(\quad)= 16y^{4}-9x^{4}$中,括号内应填入的式子是()
A.$3x^{2}-4y^{2}$
B.$4y^{2}-3x^{2}$
C.$-3x^{2}-4y^{2}$
D.$3x^{2}+4y^{2}$

A

根据题意，等式左边为$(-3x^{2}-4y^{2})(\quad)= 16y^{4}-9x^{4}$，
右边$16y^4 - 9x^4$可以看作$(4y^2)^2 - (3x^2)^2$，
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，
将$a = 4y^2$，$b = 3x^2$代入可得：
$(4y^2)^2 - (3x^2)^2=(4y^2 + 3x^2)(4y^2 - 3x^2)$，
而原等式左边为$(-3x^{2}-4y^{2})(\quad)$，即$-(3x^2 + 4y^2)$乘以一个式子等于$(4y^2 + 3x^2)(4y^2 - 3x^2)$，
所以这个式子应该是$-(4y^2 - 3x^2)=3x^2 - 4y^2$。

6. 运用平方差公式计算：
(1)$(-x + 2y)(-x - 2y)$；
(2)$(2x - 3y)(3y + 2x)-(4y - 3x)(3x + 4y)$；
(3)$a^{4}+(1 - a)(1 + a)(1 + a^{2})$.

(1)
$\begin{aligned}(-x + 2y)(-x - 2y) \\= (-x)^2 - (2y)^2 \\= x^2 - 4y^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} &(2x - 3y)(3y + 2x)-(4y - 3x)(3x + 4y) \\=&(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2] \\=& 4x^2 - 9y^2 - (16y^2 - 9x^2) \\=& 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2 \\=& 13x^2 - 25y^2\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} &a^{4}+(1 - a)(1 + a)(1 + a^{2}) \\=&a^{4}+(1 - a^2)(1 + a^{2}) \\=&a^{4}+ 1 - a^4 \\=&1\end{aligned}$