1. 完全平方公式
(1) 公式：$(a + b)^2 = $；$(a - b)^2 = $。
(2) 语言叙述：两个数的和(或差)的平方,等于它们的,加上(或减去)它们的的2倍。
2. 完全平方公式的常见变形
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab$；
$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$；
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$；
$(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$。

1.(1)$a^2 + 2ab + b^2$ ，$a^2 - 2ab + b^2$；(2)平方和，积；

(1) 根据完全平方公式的定义：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
(2)语言叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的$2$倍。

【例1】 计算：$(2x - 3)^2$。

答题卡：
解：
$(2x - 3)^2$
$=(2x)^2 - 2 × 2x × 3 + 3^2$
$= 4x^2 - 12x + 9$

【例2】 计算：$(2a + b)(a - 2b) - 2(a - b)^2$。

解：
(2a + b)(a - 2b) - 2(a - b)²
= 2a·a + 2a·(-2b) + b·a + b·(-2b) - 2(a² - 2ab + b²)
= 2a² - 4ab + ab - 2b² - 2a² + 4ab - 2b²
= (2a² - 2a²) + (-4ab + ab + 4ab) + (-2b² - 2b²)
= ab - 4b²
ab - 4b²

1. 下列计算正确的是()

A.$(-x - y)^2 = -x^2 - 2xy - y^2$
B.$(4x + 1)^2 = 16x^2 + 8x + 1$
C.$(2x - 3)^2 = 4x^2 + 12x - 9$
D.$(a + 2b)^2 = a^2 + 2ab + 4b^2$

B

A. 对于$(-x - y)^2$，根据完全平方公式，有：
$(-x - y)^2 = (-x)^2 + 2(-x)(-y) + (-y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
与选项A给出的$-x^2 - 2xy - y^2$不符，故A错误。
B. 对于$(4x + 1)^2$，根据完全平方公式，有：
$(4x + 1)^2 = (4x)^2 + 2(4x)(1) + 1^2 = 16x^2 + 8x + 1$
与选项B给出的$16x^2 + 8x + 1$相符，故B正确。
C. 对于$(2x - 3)^2$，根据完全平方公式，有：
$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$
与选项C给出的$4x^2 + 12x - 9$不符，故C错误。
D. 对于$(a + 2b)^2$，根据完全平方公式，有：
$(a + 2b)^2 = a^2 + 2a(2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$
与选项D给出的$a^2 + 2ab + 4b^2$不符，故D错误。

2. (易错题)(2024·绵阳)如果$x^2 + mx + 16$可以变形为$(x + a)^2$的形式,那么$m$的值是()
A.8
B.4
C.$\pm 4$
D.$\pm 8$

D

将$x^{2}+mx + 16$变形为$(x + a)^{2}=x^{2}+2ax+a^{2}$的形式。
因为$a^{2}=16$，所以$a = \pm 4$。
又因为$mx = 2ax$，当$a = 4$时，$m = 2a=8$；当$a=-4$时，$m = 2a=-8$。
所以$m=\pm 8$。

3. 计算：
(1)$(2a + b)^2$；
(2)$(3x - 2y)^2$；
(3)$(2x - y)^2 - (2y + x)(x - 2y)$。

(1)
$\begin{aligned}(2a + b)^2 \\= (2a)^2 + 2 × 2a × b + b^2 \\= 4a^{2} + 4ab + b^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(3x - 2y)^2 \\= (3x)^2 - 2 × 3x × 2y + (2y)^2 \\= 9x^{2} - 12xy + 4y^{2}\end{aligned}$
(3)
首先计算$(2x - y)^2$：
$\begin{aligned}(2x - y)^2 \\= (2x)^2 - 2 × 2x × y + y^2 \\= 4x^{2} - 4xy + y^{2}\end{aligned}$
接着计算$(2y + x)(x - 2y)$：
$\begin{aligned}(2y + x)(x - 2y) \\= 2y × x+2y×（-2y） + x × x+x×（-2y） \\= x^{2} - 4y^{2}\end{aligned}$
最后进行相减：
$\begin{aligned}(2x - y)^2 - (2y + x)(x - 2y) \\= 4x^{2} - 4xy + y^{2} - (x^{2} - 4y^{2}) \\= 3x^{2} - 4xy + 5y^{2}\end{aligned}$

【例3】 已知$a + b = 4$,$a^2 + b^2 = 10$,求$ab$的值。

答题卡：
由已知 $a + b = 4$，
对等式两边同时平方，得到：
$(a + b)^2 = 4^2$
$a^2 + 2ab + b^2 = 16$
又因为 $a^2 + b^2 = 10$，
将这个值代入上面的等式中，得到：
$10 + 2ab = 16$
$2ab = 6$
$ab = 3$
所以，$ab$ 的值为 3。

4. (2024·德阳)若$(x + y)^2 = 19$,$(x - y)^2 = 3$,则$xy$的值为()
A.4
B.16
C.8
D.15

A

根据完全平方公式，展开$(x + y)^2$和$(x - y)^2$：
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 19$ （1），
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = 3$ （2），
将方程（1）和方程（2）相减，得到：
$4xy = 16$，
解得：
$xy = 4$。

5. 已知实数$a$,$b满足a^2 + b^2 = 10$,$a - b = 2$,则$ab$等于()
A.3
B.4
C.5
D.6

A

由已知条件 $a - b = 2$，先求$(a - b)^2$的值：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 4$，
又因为 $a^2 + b^2 = 10$，将其代入上式：
$10 - 2ab = 4$，
解得： $2ab = 10 - 4 = 6$，
$ab = 3$。

6. 已知实数$a$,$b满足a + b = 2$,$ab = \frac{3}{4}$,则$a - b$等于()
A.1
B.$-\frac{5}{2}$
C.$\pm 1$
D.$\pm \frac{5}{2}$

C

已知 $a + b = 2$，$ab = \frac{3}{4}$，
根据完全平方公式可得：
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$
代入已知条件：
$(a - b)^2 = 2^2 - 4 × \frac{3}{4} = 4 - 3 = 1$
所以：
$a - b = \pm 1$