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8. 如图，AD是$△ ABC$的中线，E是AD上一点，$AE=\frac{1}{4}AD$，BE的延长线交AC于F，则$\frac{AF}{FC}$的值为（）
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{7}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{7}$
答案
C
解析
【分析】
本题是求三角形内线段比值的几何题，已知AD是中线即D为BC中点，且给出了AE与AD的比例关系，直接无法推导AF与FC的比值。此类题型的常规解题思路是作平行线构造“A型”相似模型，利用平行线分线段成比例的性质，通过中间线段建立AF和FC的比例关系：首先过D作BF的平行线，既可以利用D是BC中点得到FC相关的比例，又可以结合AD上的线段比例得到AF相关的比例，最后整合两个比例即可求出结果。
【解析】
解：过点D作$DG// BF$，交AC于点G。
1. 因为AD是$△ ABC$的中线，所以D是BC的中点，又$\because DG// BF$，根据平行线分线段成比例定理，可得G是FC的中点，即$FG=GC=\frac{1}{2}FC$。
2. 已知$AE=\frac{1}{4}AD$，则$AE:ED=1:(4-1)=1:3$。
3. 又$\because EF// DG$，由平行线分线段成比例可得$AF:FG=AE:ED=1:3$，即$FG=3AF$。
4. 结合$FG=\frac{1}{2}FC$，可得$3AF=\frac{1}{2}FC$，整理得$FC=6AF$，因此$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形中线的定义
2. 平行线分线段成比例
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是线段比例类几何题的典型考法，解题核心是通过作平行辅助线构造比例关系，将已知的线段比例转化为所求线段的比例，掌握这类辅助线的构造方法能快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.6
本题是求三角形内线段比值的几何题，已知AD是中线即D为BC中点，且给出了AE与AD的比例关系，直接无法推导AF与FC的比值。此类题型的常规解题思路是作平行线构造“A型”相似模型，利用平行线分线段成比例的性质，通过中间线段建立AF和FC的比例关系：首先过D作BF的平行线，既可以利用D是BC中点得到FC相关的比例，又可以结合AD上的线段比例得到AF相关的比例，最后整合两个比例即可求出结果。
【解析】
解：过点D作$DG// BF$，交AC于点G。
1. 因为AD是$△ ABC$的中线，所以D是BC的中点，又$\because DG// BF$，根据平行线分线段成比例定理，可得G是FC的中点，即$FG=GC=\frac{1}{2}FC$。
2. 已知$AE=\frac{1}{4}AD$，则$AE:ED=1:(4-1)=1:3$。
3. 又$\because EF// DG$，由平行线分线段成比例可得$AF:FG=AE:ED=1:3$，即$FG=3AF$。
4. 结合$FG=\frac{1}{2}FC$，可得$3AF=\frac{1}{2}FC$，整理得$FC=6AF$，因此$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形中线的定义
2. 平行线分线段成比例
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是线段比例类几何题的典型考法，解题核心是通过作平行辅助线构造比例关系，将已知的线段比例转化为所求线段的比例，掌握这类辅助线的构造方法能快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC延长线上的一点，且AC=EC，连接AE，交CD于点F，若AB=1，则线段DF的长是 （）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-1$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-1$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①正方形ABCD边长为1，可先求出对角线AC的长度，结合AC=EC得到EC的长度；②要求DF的长度，CD长为1，可转化为求CF的长度；③观察图形发现AD//CE，可得△ADF与△ECF相似，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求解DF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴AB=BC=CD=AD=1，AD//BE，∠B=90°，
∴对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
又
∵AC=EC，
∴$EC=\sqrt{2}$，
∵AD//BE，
∴∠DAF=∠E，
又
∵∠AFD=∠EFC（对顶角相等），
∴$△ ADF ∽ △ ECF$，
∴$\frac{AD}{EC}=\frac{DF}{CF}$，
设$DF=x$，则$CF=CD-DF=1-x$，代入比例式得：
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{x}{1-x}$，
交叉相乘得：$\sqrt{2}x=1-x$，
移项合并得：$x(\sqrt{2}+1)=1$，
解得$x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$（分母有理化：分子分母同乘$\sqrt{2}-1$），
即$DF=\sqrt{2}-1$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，分母有理化
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是利用正方形对边平行的性质得到相似三角形，再结合比例关系建立方程求解，是几何中常见的边长计算类考法。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①正方形ABCD边长为1，可先求出对角线AC的长度，结合AC=EC得到EC的长度；②要求DF的长度，CD长为1，可转化为求CF的长度；③观察图形发现AD//CE，可得△ADF与△ECF相似，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求解DF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴AB=BC=CD=AD=1，AD//BE，∠B=90°，
∴对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
又
∵AC=EC，
∴$EC=\sqrt{2}$，
∵AD//BE，
∴∠DAF=∠E，
又
∵∠AFD=∠EFC（对顶角相等），
∴$△ ADF ∽ △ ECF$，
∴$\frac{AD}{EC}=\frac{DF}{CF}$，
设$DF=x$，则$CF=CD-DF=1-x$，代入比例式得：
$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{x}{1-x}$，
交叉相乘得：$\sqrt{2}x=1-x$，
移项合并得：$x(\sqrt{2}+1)=1$，
解得$x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$（分母有理化：分子分母同乘$\sqrt{2}-1$），
即$DF=\sqrt{2}-1$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，分母有理化
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是利用正方形对边平行的性质得到相似三角形，再结合比例关系建立方程求解，是几何中常见的边长计算类考法。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$AD// BC$，$∠ ADC=90°$，$AD=2$，$BC=6$，$DC=8$. 若在直线$CD$上有一点$P$，使点$P$，$A$，$D$组成的三角形与$△ PBC$相似，且相似比不为1，则这样的点$P$有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
【分析】
首先，由$AD// BC$、$∠ ADC=90°$可推出$∠ BCD=90°$，因此$△ PAD$和$△ PBC$均为直角三角形，直角$∠ ADP$与$∠ BCP$为对应角，相似时分两种对应情况：①$△ ADP∽△ BCP$，②$△ ADP∽△ PCB$。其次点$P$在直线$CD$上，需分$P$在线段$CD$上、$CD$延长线靠近$D$侧、$CD$延长线靠近$C$侧三种位置讨论，设未知数列出比例式求解后，排除相似比为1（即全等）的情况，统计有效解的个数即可。
【解析】
设点$D$为坐标原点，建立平面直角坐标系：则$D(0,0)$，$A(2,0)$，$C(0,8)$，$B(6,8)$。
∵点$P$在直线$CD$（$y$轴）上，
∴设$P(0,y)$，则$PD=|y|$，$PC=|y-8|$。
$△ ADP$和$△ BCP$均为直角三角形，直角对应相等，分两种相似情况：
1. 当$△ ADP∽△ BCP$时，对应边成比例：$\frac{AD}{BC}=\frac{PD}{PC}$
代入$AD=2$，$BC=6$得：$\frac{2}{6}=\frac{|y|}{|y-8|}$，化简得$3|y|=|y-8|$
当$0\le y＜8$时：$3y=8-y$，解得$y=2$，符合条件，相似比为$\frac{1}{3}\ne1$，有效；
当$y＜0$时：$-3y=8-y$，解得$y=-4$，符合条件，相似比为$\frac{1}{3}\ne1$，有效；
当$y\ge8$时：$3y=y-8$，解得$y=-4$，不符合范围，舍去。
2. 当$△ ADP∽△ PCB$时，对应边成比例：$\frac{AD}{PC}=\frac{PD}{BC}$
代入得：$\frac{2}{|y-8|}=\frac{|y|}{6}$，化简得$|y(y-8)|=12$，分两种子情况：
$y(y-8)=12$，即$y^2-8y-12=0$，判别式$\Delta=64+48=112＞0$，解得$y=4+2\sqrt{7}$（大于8，符合）、$y=4-2\sqrt{7}$（小于0，符合），两个解的相似比均不为1，有效；
$y(y-8)=-12$，即$y^2-8y+12=0$，解得$y=2$（已在第一种情况统计）、$y=6$，当$y=6$时，$PD=6$，$PC=2$，$\frac{AD}{PC}=\frac{2}{2}=1$，$\frac{PD}{BC}=\frac{6}{6}=1$，相似比为1，不符合要求，舍去。
综上，符合条件的点$P$有4个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的相似三角形存在性问题，解题时需注意两点：一是相似的对应关系不唯一，要分类讨论；二是点在直线上而非线段上，需考虑所有可能的位置，同时不要忽略题目中相似比不为1的限制条件，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
首先，由$AD// BC$、$∠ ADC=90°$可推出$∠ BCD=90°$，因此$△ PAD$和$△ PBC$均为直角三角形，直角$∠ ADP$与$∠ BCP$为对应角，相似时分两种对应情况：①$△ ADP∽△ BCP$，②$△ ADP∽△ PCB$。其次点$P$在直线$CD$上，需分$P$在线段$CD$上、$CD$延长线靠近$D$侧、$CD$延长线靠近$C$侧三种位置讨论，设未知数列出比例式求解后，排除相似比为1（即全等）的情况，统计有效解的个数即可。
【解析】
设点$D$为坐标原点，建立平面直角坐标系：则$D(0,0)$，$A(2,0)$，$C(0,8)$，$B(6,8)$。
∵点$P$在直线$CD$（$y$轴）上，
∴设$P(0,y)$，则$PD=|y|$，$PC=|y-8|$。
$△ ADP$和$△ BCP$均为直角三角形，直角对应相等，分两种相似情况：
1. 当$△ ADP∽△ BCP$时，对应边成比例：$\frac{AD}{BC}=\frac{PD}{PC}$
代入$AD=2$，$BC=6$得：$\frac{2}{6}=\frac{|y|}{|y-8|}$，化简得$3|y|=|y-8|$
当$0\le y＜8$时：$3y=8-y$，解得$y=2$，符合条件，相似比为$\frac{1}{3}\ne1$，有效；
当$y＜0$时：$-3y=8-y$，解得$y=-4$，符合条件，相似比为$\frac{1}{3}\ne1$，有效；
当$y\ge8$时：$3y=y-8$，解得$y=-4$，不符合范围，舍去。
2. 当$△ ADP∽△ PCB$时，对应边成比例：$\frac{AD}{PC}=\frac{PD}{BC}$
代入得：$\frac{2}{|y-8|}=\frac{|y|}{6}$，化简得$|y(y-8)|=12$，分两种子情况：
$y(y-8)=12$，即$y^2-8y-12=0$，判别式$\Delta=64+48=112＞0$，解得$y=4+2\sqrt{7}$（大于8，符合）、$y=4-2\sqrt{7}$（小于0，符合），两个解的相似比均不为1，有效；
$y(y-8)=-12$，即$y^2-8y+12=0$，解得$y=2$（已在第一种情况统计）、$y=6$，当$y=6$时，$PD=6$，$PC=2$，$\frac{AD}{PC}=\frac{2}{2}=1$，$\frac{PD}{BC}=\frac{6}{6}=1$，相似比为1，不符合要求，舍去。
综上，符合条件的点$P$有4个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的相似三角形存在性问题，解题时需注意两点：一是相似的对应关系不唯一，要分类讨论；二是点在直线上而非线段上，需考虑所有可能的位置，同时不要忽略题目中相似比不为1的限制条件，避免多解或漏解。
【难度系数】
0.6
11. 如果两个相似三角形的相似比为$2:3$，两个三角形的周长的和是100 cm，那么较小的三角形的周长为 cm.
答案
$\boldsymbol{40}$
解析
【分析】
解题首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比。本题已知两个相似三角形的相似比为$2:3$，可推得二者周长比也为$2:3$，结合两三角形周长和为$100\mathrm{cm}$的条件，既可以通过设未知数列方程求解，也可以直接按比例分配计算较小三角形的周长，计算时注意比例对应的是“较小周长:较大周长=2:3”，不要搞反对应关系。
【解析】
解：$\because$ 相似三角形的周长比等于相似比，两个相似三角形的相似比为$2:3$
$\therefore$ 两个三角形的周长比为$2:3$
设较小三角形的周长为$2x\mathrm{cm}$，较大三角形的周长为$3x\mathrm{cm}$
根据周长和为$100\mathrm{cm}$列方程：
$2x+3x=100$
合并同类项得：$5x=100$
解得：$x=20$
$\therefore$ 较小三角形的周长为$2x=2×20=40\mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{40}$
【知识点】
相似三角形性质，比例计算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查相似三角形周长比和相似比的对应关系，只要熟记相关性质，理清比例的对应项即可快速解答，计算难度很低。
【难度系数】
0.85
解题首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比。本题已知两个相似三角形的相似比为$2:3$，可推得二者周长比也为$2:3$，结合两三角形周长和为$100\mathrm{cm}$的条件，既可以通过设未知数列方程求解，也可以直接按比例分配计算较小三角形的周长，计算时注意比例对应的是“较小周长:较大周长=2:3”，不要搞反对应关系。
【解析】
解：$\because$ 相似三角形的周长比等于相似比，两个相似三角形的相似比为$2:3$
$\therefore$ 两个三角形的周长比为$2:3$
设较小三角形的周长为$2x\mathrm{cm}$，较大三角形的周长为$3x\mathrm{cm}$
根据周长和为$100\mathrm{cm}$列方程：
$2x+3x=100$
合并同类项得：$5x=100$
解得：$x=20$
$\therefore$ 较小三角形的周长为$2x=2×20=40\mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{40}$
【知识点】
相似三角形性质，比例计算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查相似三角形周长比和相似比的对应关系，只要熟记相关性质，理清比例的对应项即可快速解答，计算难度很低。
【难度系数】
0.85
12. 如图,在方格中,$∠1+∠2+∠3=$ 度.
第12小题图
第13小题图
第14小题图
第15小题图
第12小题图
第13小题图
第14小题图
第15小题图
答案
$\boldsymbol{90}$
解析
【分析】
解决方格中的角度求和问题，核心思路是利用全等三角形的性质转化分散的角。首先根据方格边长相等的特征，找到角所在的直角三角形，证明三角形全等后，把未知角度的和转化为已知特殊角的和，最终推导得到三个角的总度数。
【解析】
1. 观察方格中∠1和∠3所在的两个直角三角形：两个三角形的直角边长度分别对应相等，根据SAS（边角边）全等判定定理，可证这两个直角三角形全等。
2. 由全等三角形的对应角相等可得，∠1与∠3的余角相等，因此∠1 + ∠3 = 90°-∠2，整理得∠1+∠2+∠3=90°。
【答案】
$\boldsymbol{90}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的关键是发现方格中隐藏的全等三角形，灵活将角度转化求解，能很好地考查学生对全等三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解决方格中的角度求和问题，核心思路是利用全等三角形的性质转化分散的角。首先根据方格边长相等的特征，找到角所在的直角三角形，证明三角形全等后，把未知角度的和转化为已知特殊角的和，最终推导得到三个角的总度数。
【解析】
1. 观察方格中∠1和∠3所在的两个直角三角形：两个三角形的直角边长度分别对应相等，根据SAS（边角边）全等判定定理，可证这两个直角三角形全等。
2. 由全等三角形的对应角相等可得，∠1与∠3的余角相等，因此∠1 + ∠3 = 90°-∠2，整理得∠1+∠2+∠3=90°。
【答案】
$\boldsymbol{90}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的关键是发现方格中隐藏的全等三角形，灵活将角度转化求解，能很好地考查学生对全等三角形性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，且$DE$把$△ ABC$分成面积相等的两部分.若$AD=4$，则$DB$的长为.
答案
$\boldsymbol{4\sqrt{2}-4}$
解析
【分析】
首先由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，结合DE将△ABC分成面积相等的两部分，可得两个相似三角形的面积比为1:2；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出AD与AB的边长比，代入AD的长度算出AB的长，最后通过DB=AB-AD即可求出结果。
【解析】
∵ DE//BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∵ DE把△ABC分成面积相等的两部分
∴ $S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=1:2$
根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得：
$(\frac{AD}{AB})^2=\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
将AD=4代入得：$\frac{4}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：$AB=4\sqrt{2}$
∴ $DB=AB-AD=4\sqrt{2}-4$
【答案】
$\boldsymbol{4\sqrt{2}-4}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的核心是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的关系，结合题目给出的面积条件推导边长关系，整体考查基础，易于得分。
【难度系数】
0.7
首先由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，结合DE将△ABC分成面积相等的两部分，可得两个相似三角形的面积比为1:2；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出AD与AB的边长比，代入AD的长度算出AB的长，最后通过DB=AB-AD即可求出结果。
【解析】
∵ DE//BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∵ DE把△ABC分成面积相等的两部分
∴ $S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=1:2$
根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得：
$(\frac{AD}{AB})^2=\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
将AD=4代入得：$\frac{4}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：$AB=4\sqrt{2}$
∴ $DB=AB-AD=4\sqrt{2}-4$
【答案】
$\boldsymbol{4\sqrt{2}-4}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题的核心是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的关系，结合题目给出的面积条件推导边长关系，整体考查基础，易于得分。
【难度系数】
0.7
14.如图,正方形ABCD的边长为8,M,N分别是BC,CD上的两个动点,且始终保持$AM⊥ MN$.当$CN=2$时,$CM=$.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：正方形自带直角属性，加上AM⊥MN的垂直条件，可通过“同角的余角相等”推导出两组相等的角，进而证明△ABM和△MCN相似；接下来设CM的长度为未知数，用正方形边长表示出BM的长度，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，解方程即可得到CM的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为8
∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°
∴在Rt△ABM中，∠BAM + ∠AMB = 90°
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°
∴∠AMB + ∠NMC = 180° - ∠AMN = 90°
∴∠BAM = ∠NMC（同角的余角相等）
又
∵∠B=∠C=90°
∴△ABM∽△MCN（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AB}{MC}=\frac{BM}{CN}$
设$CM=x$，则$BM=BC-CM=8-x$，已知$CN=2$，代入比例式得：
$\frac{8}{x}=\frac{8-x}{2}$
交叉相乘得：$x(8-x)=16$
整理得：$x^2-8x+16=0$
即$(x-4)^2=0$，解得$x=4$
∴CM=4
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程
【点评】
本题属于几何动态线段计算的典型题目，解题核心是通过角的互余关系证明三角形相似，再结合比例式列方程求解，熟练掌握相似三角形的判定方法能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：正方形自带直角属性，加上AM⊥MN的垂直条件，可通过“同角的余角相等”推导出两组相等的角，进而证明△ABM和△MCN相似；接下来设CM的长度为未知数，用正方形边长表示出BM的长度，最后利用相似三角形对应边成比例的性质列方程，解方程即可得到CM的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为8
∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°
∴在Rt△ABM中，∠BAM + ∠AMB = 90°
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°
∴∠AMB + ∠NMC = 180° - ∠AMN = 90°
∴∠BAM = ∠NMC（同角的余角相等）
又
∵∠B=∠C=90°
∴△ABM∽△MCN（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AB}{MC}=\frac{BM}{CN}$
设$CM=x$，则$BM=BC-CM=8-x$，已知$CN=2$，代入比例式得：
$\frac{8}{x}=\frac{8-x}{2}$
交叉相乘得：$x(8-x)=16$
整理得：$x^2-8x+16=0$
即$(x-4)^2=0$，解得$x=4$
∴CM=4
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程
【点评】
本题属于几何动态线段计算的典型题目，解题核心是通过角的互余关系证明三角形相似，再结合比例式列方程求解，熟练掌握相似三角形的判定方法能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
15. 如图，在$△ ABC$中，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=16\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$A$出发，以每秒1厘米的速度向点$B$运动；点$Q$同时从点$C$出发，以每秒2厘米的速度向点$A$运动。其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动。那么，当以$A$，$P$，$Q$为顶点的三角形与$△ ABC$相似时，运动时间是秒。
答案
解：设运动时间为t秒，由题意得$0 ＜ t ≤ 8$，
则$AP = t\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$，$AQ = (16 - 2t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ A$是$△ APQ$和$△ ABC$的公共角，分两种情况讨论：
① 当$△ APQ ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}$
代入数值：
$\frac{t}{8} = \frac{16 - 2t}{16}$
解得$t = 4$。
② 当$△ AQP ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AC} = \frac{AQ}{AB}$
代入数值：
$\frac{t}{16} = \frac{16 - 2t}{8}$
解得$t = \frac{32}{5}$。
综上，运动时间是$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\frac{32}{5}}$秒。
则$AP = t\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$，$AQ = (16 - 2t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ A$是$△ APQ$和$△ ABC$的公共角，分两种情况讨论：
① 当$△ APQ ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}$
代入数值：
$\frac{t}{8} = \frac{16 - 2t}{16}$
解得$t = 4$。
② 当$△ AQP ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AC} = \frac{AQ}{AB}$
代入数值：
$\frac{t}{16} = \frac{16 - 2t}{8}$
解得$t = \frac{32}{5}$。
综上，运动时间是$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{\frac{32}{5}}$秒。
解析
【分析】
这是动点引发的三角形相似问题，首先设运动时间为t，先根据两个动点的运动速度表示出AP、AQ的长度，确定t的取值范围；由于△APQ和△ABC有公共角∠A，根据相似三角形的判定，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，此时公共角的两边对应关系有两种情况，需要分类讨论列比例式求解，最后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
设运动时间为t秒，由题意可知两个动点最长运动时间为$\frac{8}{1}=\frac{16}{2}=8$秒，因此$0 ＜ t ≤ 8$。
则$AP = t\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$，$AQ = AC-CQ=(16 - 2t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ A$是$△ APQ$和$△ ABC$的公共角，分两种情况讨论：
① 当$△ APQ ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}$
代入数值：
$\frac{t}{8} = \frac{16 - 2t}{16}$
交叉相乘解得$t = 4$，符合$0＜t≤8$的取值要求。
② 当$△ AQP ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AC} = \frac{AQ}{AB}$
代入数值：
$\frac{t}{16} = \frac{16 - 2t}{8}$
交叉相乘解得$t = \frac{32}{5}$，符合$0＜t≤8$的取值要求。
综上，运动时间是4或$\frac{32}{5}$秒。
【答案】
4或$\boldsymbol{\frac{32}{5}}$
【知识点】
相似三角形的性质，动点问题求解，分类讨论思想
【点评】
本题是动点相似的典型题型，解题的核心是抓住公共角这一固定条件，对相似的不同对应关系进行分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合运动的实际范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
这是动点引发的三角形相似问题，首先设运动时间为t，先根据两个动点的运动速度表示出AP、AQ的长度，确定t的取值范围；由于△APQ和△ABC有公共角∠A，根据相似三角形的判定，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，此时公共角的两边对应关系有两种情况，需要分类讨论列比例式求解，最后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
设运动时间为t秒，由题意可知两个动点最长运动时间为$\frac{8}{1}=\frac{16}{2}=8$秒，因此$0 ＜ t ≤ 8$。
则$AP = t\ \mathrm{cm}$，$CQ = 2t\ \mathrm{cm}$，$AQ = AC-CQ=(16 - 2t)\ \mathrm{cm}$。
$\because ∠ A$是$△ APQ$和$△ ABC$的公共角，分两种情况讨论：
① 当$△ APQ ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC}$
代入数值：
$\frac{t}{8} = \frac{16 - 2t}{16}$
交叉相乘解得$t = 4$，符合$0＜t≤8$的取值要求。
② 当$△ AQP ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AP}{AC} = \frac{AQ}{AB}$
代入数值：
$\frac{t}{16} = \frac{16 - 2t}{8}$
交叉相乘解得$t = \frac{32}{5}$，符合$0＜t≤8$的取值要求。
综上，运动时间是4或$\frac{32}{5}$秒。
【答案】
4或$\boldsymbol{\frac{32}{5}}$
【知识点】
相似三角形的性质，动点问题求解，分类讨论思想
【点评】
本题是动点相似的典型题型，解题的核心是抓住公共角这一固定条件，对相似的不同对应关系进行分类讨论，求解后要注意验证结果是否符合运动的实际范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
