典例2 通分：
(1)$\frac{1}{a^2b}, -\frac{2}{ab^2};$
(2)$\frac{1}{x^2 - y^2}, \frac{1}{x^2 + xy}.$

解：
(1) 两个分式的最简公分母是$a^2b^2$，
$\frac{1}{a^2b} = \frac{1· b}{a^2b· b} = \frac{b}{a^2b^2}$，
$-\frac{2}{ab^2} = -\frac{2· a}{ab^2· a} = -\frac{2a}{a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，
$x^2 + xy = x(x+y)$，
两个分式的最简公分母是$x(x+y)(x-y)$，
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1· x}{(x+y)(x-y)· x} = \frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1· (x-y)}{x(x+y)· (x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。

【分析】
通分的核心依据是分式的基本性质，解题按以下步骤思考：1. 确定最简公分母：若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂的乘积作为最简公分母；若分母是多项式，先对分母因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的乘积得到最简公分母。2. 利用分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘对应的整式，把分母统一为最简公分母，同时化简分子即可。
【解析】
(1) 两个分式的分母为单项式，最简公分母是$a^2b^2$，
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{a^2b} = \frac{1· b}{a^2b· b} = \frac{b}{a^2b^2}$，
$-\frac{2}{ab^2} = -\frac{2· a}{ab^2· a} = -\frac{2a}{a^2b^2}$。
(2) 先对两个分式的分母因式分解：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，
$x^2 + xy = x(x+y)$，
可得最简公分母是$x(x+y)(x-y)$，
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1· x}{(x+y)(x-y)· x} = \frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，
$\frac{1}{x^2 + xy} = \frac{1· (x-y)}{x(x+y)· (x-y)} = \frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{a^2b}=\frac{b}{a^2b^2}$，$-\frac{2}{ab^2}=-\frac{2a}{a^2b^2}$；
(2) $\frac{1}{x^2 - y^2}=\frac{x}{x(x+y)(x-y)}$，$\frac{1}{x^2 + xy}=\frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}$。
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础典型题，重点考查通分的规范步骤，掌握最简公分母的找法是解题的核心，熟练掌握这类题型可以为后续分式的加减运算打下扎实基础。
【难度系数】
0.8

举一反三 通分：
(1)$\frac{1}{4a^2}, \frac{b}{2ac}$；
(2)$\frac{2}{9-3a}, \frac{a-1}{a^2-9}$。
$\frac{1}{a^2b}=\frac{b}{a^2b^2}, -\frac{2}{ab^2}=-\frac{2a}{a^2b^2}.$
(2)最简公分母是$x(x+y)(x-y).$
$\frac{1}{x^2-y^2}=\frac{x}{x(x+y)(x-y)}=\frac{x}{x^3-xy^2},$
$\frac{1}{x^2+xy}=\frac{x-y}{x(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x^3-xy^2}.$

解 (1)最简公分母是$4a^2c$.
$\frac{1}{4a^2} =\frac{1 · c}{4a^2 · c} =\frac{c}{4a^2 c},$
$\frac{b}{2ac} =\frac{b · 2a}{2ac · 2a} =\frac{2ab}{4a^2 c}.$
(2)最简公分母是$3(a+3)(a-3).$
$\frac{2}{9-3a} =-\frac{2}{3(a-3)}$
$=-\frac{2 · (a+3)}{3(a-3) · (a+3)}$
$=-\frac{2a+6}{3a^2 -27},$
$\frac{a-1}{a^2 -9} =\frac{a-1}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{(a-1) · 3}{(a+3)(a-3) · 3}$
$=\frac{3a-3}{3a^2 -27}.$

【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘适当的整式，使分母都变为最简公分母。
(1) 两个分式的分母是单项式：先找系数的最小公倍数，4和2的最小公倍数是4；再找相同字母的最高次幂，a的最高次是$a^2$，还有单独出现的字母c，因此最简公分母是$4a^2c$，再分别给两个分式的分子分母补乘缺少的因式即可。
(2) 两个分式的分母是多项式：先对分母因式分解，$9-3a=3(3-a)=-3(a-3)$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，再取各因式的最高次幂的乘积，得到最简公分母是$3(a+3)(a-3)$，变形时注意处理负号，再给分子补乘缺少的因式。
【解析】
(1) 第一步确定最简公分母为$4a^2c$：
对$\frac{1}{4a^2}$，分母缺少因式$c$，分子分母同乘$c$，得$\frac{1 · c}{4a^2 · c} =\frac{c}{4a^2 c}$；
对$\frac{b}{2ac}$，分母缺少因式$2a$，分子分母同乘$2a$，得$\frac{b · 2a}{2ac · 2a} =\frac{2ab}{4a^2 c}$。
(2) 第一步先因式分解分母，确定最简公分母为$3(a+3)(a-3)$：
对$\frac{2}{9-3a}$，先变形得$\frac{2}{9-3a} =-\frac{2}{3(a-3)}$，分母缺少因式$(a+3)$，分子分母同乘$(a+3)$，得$-\frac{2 · (a+3)}{3(a-3) · (a+3)}=-\frac{2a+6}{3a^2 -27}$；
对$\frac{a-1}{a^2 -9}$，先变形得$\frac{a-1}{a^2 -9} =\frac{a-1}{(a+3)(a-3)}$，分母缺少因式3，分子分母同乘3，得$\frac{(a-1) · 3}{(a+3)(a-3) · 3}=\frac{3a-3}{3a^2 -27}$。
【答案】
(1)最简公分母是$4a^2c$，$\frac{1}{4a^2}=\frac{c}{4a^2c}$，$\frac{b}{2ac}=\frac{2ab}{4a^2c}$；
(2)最简公分母是$3(a+3)(a-3)$，$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2a+6}{3a^2-27}$，$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{3a-3}{3a^2-27}$。
【知识点】
分式的通分；最简公分母的确定；分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考查最简公分母的找法，多项式分母需先因式分解再确定公分母，变形时要注意符号的处理，熟练掌握通分是后续分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.8