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7.某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个.现有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可列方程为(
A.$12x=18(28-x)$
B.$12x=2×18(28-x)$
C.$2×18x=18(28-x)$
D.$2×12x=18(28-x)$
D
).A.$12x=18(28-x)$
B.$12x=2×18(28-x)$
C.$2×18x=18(28-x)$
D.$2×12x=18(28-x)$
答案
7.D
解析
【分析】
这是一道一元一次方程配套类应用题，解题核心是找准螺栓和螺母的配套数量关系。首先明确各已知量：总共有28名工人，x人生产螺栓，可先得出生产螺母的人数为(28-x)人；再分别计算每天生产的螺栓总数量、螺母总数量；最后根据1:2的配套要求，1个螺栓需要搭配2个螺母，即螺母总数量是螺栓总数量的2倍，根据这个等量关系即可列出对应方程。
【解析】
步骤1：确定生产两类零件的人数
已知共28名工人，x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人数量为$(28-x)$名。
步骤2：计算每天生产的螺栓、螺母总数量
每人每天平均生产螺栓12个，因此每天生产螺栓总数量为$12x$个；
每人每天平均生产螺母18个，因此每天生产螺母总数量为$18(28-x)$个。
步骤3：根据配套比例列方程
螺栓和螺母按$1:2$配套，即螺母总数量 = 2×螺栓总数量，代入上述数量可得：
$2× 12x=18(28-x)$
因此符合要求的方程为选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题
【点评】
本题是配套类应用题的基础典型题，解题的关键是正确理解配套比例对应的数量关系，注意不要将倍数的对应关系写反，找准等量关系是列方程解应用题的核心。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程配套类应用题，解题核心是找准螺栓和螺母的配套数量关系。首先明确各已知量：总共有28名工人，x人生产螺栓，可先得出生产螺母的人数为(28-x)人；再分别计算每天生产的螺栓总数量、螺母总数量；最后根据1:2的配套要求，1个螺栓需要搭配2个螺母，即螺母总数量是螺栓总数量的2倍，根据这个等量关系即可列出对应方程。
【解析】
步骤1：确定生产两类零件的人数
已知共28名工人，x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人数量为$(28-x)$名。
步骤2：计算每天生产的螺栓、螺母总数量
每人每天平均生产螺栓12个，因此每天生产螺栓总数量为$12x$个；
每人每天平均生产螺母18个，因此每天生产螺母总数量为$18(28-x)$个。
步骤3：根据配套比例列方程
螺栓和螺母按$1:2$配套，即螺母总数量 = 2×螺栓总数量，代入上述数量可得：
$2× 12x=18(28-x)$
因此符合要求的方程为选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题
【点评】
本题是配套类应用题的基础典型题，解题的关键是正确理解配套比例对应的数量关系，注意不要将倍数的对应关系写反，找准等量关系是列方程解应用题的核心。
【难度系数】
0.7
8.一批树苗按下列方法依次由各班领取:一班取 10 棵和余下的$\frac{1}{10}$，二班取 20 棵和余下的$\frac{1}{10}$，三班取 30 棵和余下的$\frac{1}{10}$……最后树苗全部被取完，且各班领取的树苗数都相等，求树苗的总数.设树苗的总数为$x$棵，可列方程为
$10+\frac{1}{10}(x-10)=20+\frac{1}{10}×\{x-[10+\frac{1}{10}(x-10)]-20\}$
.答案
$10+\frac{1}{10}(x-10)=20+\frac{1}{10}×\{x-[10+\frac{1}{10}(x-10)]-20\}$
解析
【分析】
解题的核心突破口是题目给出的“各班领取的树苗数都相等”这一等量关系，我们只需分别表示出一班、二班领取的树苗总数量，令二者相等即可列出方程。首先先推导一班的领取量：总树苗为x棵，一班先领10棵后剩余(x-10)棵，再领剩余的$\frac{1}{10}$，相加就是一班的总领取量；再推导二班的领取量：先扣除一班已经领走的全部树苗，再减去二班先领的20棵，得到二班领20棵后剩余的树苗，乘以$\frac{1}{10}$再加20就是二班的总领取量，最后令两个式子相等即可。
【解析】
1. 计算一班领取的树苗总数：
一班先取10棵，此时剩余树苗为$(x-10)$棵，再取余下的$\frac{1}{10}$，因此一班领取的总树苗数为$\displaystyle 10+\frac{1}{10}(x-10)$。
2. 计算二班领取的树苗总数：
先算一班领完后剩余的树苗：$\displaystyle x-[10+\frac{1}{10}(x-10)]$棵；
二班先取20棵，此时剩余的树苗为$\displaystyle x-[10+\frac{1}{10}(x-10)]-20$棵，再取余下的$\frac{1}{10}$，因此二班领取的总树苗数为$\displaystyle 20+\frac{1}{10}×\{x-[10+\frac{1}{10}(x-10)]-20\}$。
3. 根据各班领取树苗数相等，令两个式子相等，即可得到所求方程。
【答案】
$\displaystyle 10+\frac{1}{10}(x-10)=20+\frac{1}{10}×\{x-[10+\frac{1}{10}(x-10)]-20\}$
【知识点】
一元一次方程的应用、列代数式、等量关系确定
【点评】
本题属于典型的分配类方程应用题，解题关键是抓住“各班领取量相等”的核心等量关系，易错点是计算二班领取量时，容易漏扣一班已领取的树苗量，导致“余下的树苗”基数计算错误。
【难度系数】
0.6
解题的核心突破口是题目给出的“各班领取的树苗数都相等”这一等量关系，我们只需分别表示出一班、二班领取的树苗总数量，令二者相等即可列出方程。首先先推导一班的领取量：总树苗为x棵，一班先领10棵后剩余(x-10)棵，再领剩余的$\frac{1}{10}$，相加就是一班的总领取量；再推导二班的领取量：先扣除一班已经领走的全部树苗，再减去二班先领的20棵，得到二班领20棵后剩余的树苗，乘以$\frac{1}{10}$再加20就是二班的总领取量，最后令两个式子相等即可。
【解析】
1. 计算一班领取的树苗总数：
一班先取10棵，此时剩余树苗为$(x-10)$棵，再取余下的$\frac{1}{10}$，因此一班领取的总树苗数为$\displaystyle 10+\frac{1}{10}(x-10)$。
2. 计算二班领取的树苗总数：
先算一班领完后剩余的树苗：$\displaystyle x-[10+\frac{1}{10}(x-10)]$棵；
二班先取20棵，此时剩余的树苗为$\displaystyle x-[10+\frac{1}{10}(x-10)]-20$棵，再取余下的$\frac{1}{10}$，因此二班领取的总树苗数为$\displaystyle 20+\frac{1}{10}×\{x-[10+\frac{1}{10}(x-10)]-20\}$。
3. 根据各班领取树苗数相等，令两个式子相等，即可得到所求方程。
【答案】
$\displaystyle 10+\frac{1}{10}(x-10)=20+\frac{1}{10}×\{x-[10+\frac{1}{10}(x-10)]-20\}$
【知识点】
一元一次方程的应用、列代数式、等量关系确定
【点评】
本题属于典型的分配类方程应用题，解题关键是抓住“各班领取量相等”的核心等量关系，易错点是计算二班领取量时，容易漏扣一班已领取的树苗量，导致“余下的树苗”基数计算错误。
【难度系数】
0.6
9.一项工程，若甲工程队独做，需20天完成，共需费用3 200元；若甲、乙两个工程队合做，则需12天完成，共需费用3 120元.
(1)若由甲、乙两个工程队合做6天后，剩余工程由乙工程队单独完成，求工程所需的总费用.
(2)若工期要求不超过24天，如何安排施工，可使完成此工程所需的总费用最少？最少是多少？
(1)若由甲、乙两个工程队合做6天后，剩余工程由乙工程队单独完成，求工程所需的总费用.
(2)若工期要求不超过24天，如何安排施工，可使完成此工程所需的总费用最少？最少是多少？
答案
9.(1)甲工程队每天需费用:$3\ 200÷20=160$(元).
设乙工程队每天需费用$x$元,则$(160+x)×12=3\ 120$,$x=100$.
甲、乙工程队合做6天的费用:$(100+160)×6=1\ 560$(元).
乙工程队每天的工作量:$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{1}{30}$.
总费用:$(1-\frac{6}{12})÷\frac{1}{30}×100+1\ 560=3\ 060$(元).
(2)设实际施工中安排乙工程队做$y$天，
则$W_{\mathrm{总费用}}=100y+(1-\frac{y}{30})÷\frac{1}{20}×160=3\ 200-\frac{20}{3}y$.
因为$y$越大,$W_{\mathrm{总费用}}$越小,又由于工期不超过24天,所以当$y=24$时,总费用最少,为3 040元.
而余下的工程由甲工程队参与共同完成,经计算,甲工程队做4天.
即安排甲、乙工程队合做4天,乙工程队再独做20天.
设乙工程队每天需费用$x$元,则$(160+x)×12=3\ 120$,$x=100$.
甲、乙工程队合做6天的费用:$(100+160)×6=1\ 560$(元).
乙工程队每天的工作量:$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{1}{30}$.
总费用:$(1-\frac{6}{12})÷\frac{1}{30}×100+1\ 560=3\ 060$(元).
(2)设实际施工中安排乙工程队做$y$天，
则$W_{\mathrm{总费用}}=100y+(1-\frac{y}{30})÷\frac{1}{20}×160=3\ 200-\frac{20}{3}y$.
因为$y$越大,$W_{\mathrm{总费用}}$越小,又由于工期不超过24天,所以当$y=24$时,总费用最少,为3 040元.
而余下的工程由甲工程队参与共同完成,经计算,甲工程队做4天.
即安排甲、乙工程队合做4天,乙工程队再独做20天.
解析
【分析】
这是典型的工程类实际应用问题，解题时先把总工程量看作单位“1”，分两步梳理思路：
(1) 先计算甲、乙两队的单日施工费用，再推导两队的工作效率；先求出甲乙合作6天的费用和已完成的工作量，再算出剩余工作量由乙单独做需要的时长，对应计算乙单独施工的费用，求和即可得到总费用。
(2) 要让总费用最少，先对比两队单日费用，可知乙队单日费用更低，所以优先安排乙队多施工，同时满足工期不超过24天的要求，建立总费用和乙队施工天数的关系式，即可找到费用最少的施工方案。
【解析】
(1) 计算甲工程队单日费用：$3200÷20=160$（元）
设乙工程队每天需费用$x$元，根据甲乙合作12天总费用3120元列方程：
$(160+x)×12=3120$
解得$x=100$，即乙队单日费用为100元。
甲乙合作6天的费用：$(160+100)×6=1560$（元）
再计算工作效率：甲队单日效率为$\frac{1}{20}$，甲乙合作单日效率为$\frac{1}{12}$，因此乙队单日效率为$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{1}{30}$。
甲乙合作6天后剩余工作量：$1-\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
剩余工作乙单独做需要的时长：$\frac{1}{2}÷\frac{1}{30}=15$（天）
乙单独做15天的费用：$15×100=1500$（元）
总费用：$1560+1500=3060$（元）
(2) 设安排乙工程队施工$y$天（$y≤24$），总费用为$W$元。
乙队完成的工作量为$\frac{y}{30}$，剩余工作量为$1-\frac{y}{30}$，需要甲队施工的时长为$(1-\frac{y}{30})÷\frac{1}{20}$天。
总费用表达式：
$W=100y + [(1-\frac{y}{30})÷\frac{1}{20}]×160$
化简得：$W=3200-\frac{20}{3}y$
因为$\frac{20}{3}＞0$，所以$y$越大，总费用$W$越小，结合工期要求$y≤24$，因此当$y=24$时，总费用最少。
此时最少费用$W=3200-\frac{20}{3}×24=3040$（元）
甲队施工时长：$(1-\frac{24}{30})÷\frac{1}{20}=4$（天）
即施工方案为：甲乙两队合作4天，剩余工程由乙队单独做20天。
【答案】
(1) 工程所需总费用为3060元；
(2) 安排甲、乙工程队合做4天，乙工程队再独做20天，总费用最少，最少为3040元。
【知识点】
工程问题；一元一次方程应用；最优方案设计
【点评】
本题结合工程问题与费用优化考查一元一次方程的实际应用，解题核心是先确定各施工队的工作效率和单日费用，再根据“单价更低的队伍优先施工”的原则结合工期限制推导最优方案，解题时需注意将总工程量设为单位“1”简化效率计算。
【难度系数】
0.6
这是典型的工程类实际应用问题，解题时先把总工程量看作单位“1”，分两步梳理思路：
(1) 先计算甲、乙两队的单日施工费用，再推导两队的工作效率；先求出甲乙合作6天的费用和已完成的工作量，再算出剩余工作量由乙单独做需要的时长，对应计算乙单独施工的费用，求和即可得到总费用。
(2) 要让总费用最少，先对比两队单日费用，可知乙队单日费用更低，所以优先安排乙队多施工，同时满足工期不超过24天的要求，建立总费用和乙队施工天数的关系式，即可找到费用最少的施工方案。
【解析】
(1) 计算甲工程队单日费用：$3200÷20=160$（元）
设乙工程队每天需费用$x$元，根据甲乙合作12天总费用3120元列方程：
$(160+x)×12=3120$
解得$x=100$，即乙队单日费用为100元。
甲乙合作6天的费用：$(160+100)×6=1560$（元）
再计算工作效率：甲队单日效率为$\frac{1}{20}$，甲乙合作单日效率为$\frac{1}{12}$，因此乙队单日效率为$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{1}{30}$。
甲乙合作6天后剩余工作量：$1-\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
剩余工作乙单独做需要的时长：$\frac{1}{2}÷\frac{1}{30}=15$（天）
乙单独做15天的费用：$15×100=1500$（元）
总费用：$1560+1500=3060$（元）
(2) 设安排乙工程队施工$y$天（$y≤24$），总费用为$W$元。
乙队完成的工作量为$\frac{y}{30}$，剩余工作量为$1-\frac{y}{30}$，需要甲队施工的时长为$(1-\frac{y}{30})÷\frac{1}{20}$天。
总费用表达式：
$W=100y + [(1-\frac{y}{30})÷\frac{1}{20}]×160$
化简得：$W=3200-\frac{20}{3}y$
因为$\frac{20}{3}＞0$，所以$y$越大，总费用$W$越小，结合工期要求$y≤24$，因此当$y=24$时，总费用最少。
此时最少费用$W=3200-\frac{20}{3}×24=3040$（元）
甲队施工时长：$(1-\frac{24}{30})÷\frac{1}{20}=4$（天）
即施工方案为：甲乙两队合作4天，剩余工程由乙队单独做20天。
【答案】
(1) 工程所需总费用为3060元；
(2) 安排甲、乙工程队合做4天，乙工程队再独做20天，总费用最少，最少为3040元。
【知识点】
工程问题；一元一次方程应用；最优方案设计
【点评】
本题结合工程问题与费用优化考查一元一次方程的实际应用，解题核心是先确定各施工队的工作效率和单日费用，再根据“单价更低的队伍优先施工”的原则结合工期限制推导最优方案，解题时需注意将总工程量设为单位“1”简化效率计算。
【难度系数】
0.6
10.中国著名数学家苏步青先生有一次在德国与另一位数学家同乘一辆电车，这位数学家出了一道题请苏先生解答.
甲、乙两人同时从相距100 km的A、B两地出发，相向而行，甲每小时走6 km，乙每小时走4 km，甲带着一只狗和他同时出发，狗以10 km/h的速度向乙奔去，遇到乙后立即回头奔向甲，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停住.问：这只狗共跑了多少千米？
请你试着解答这个问题，并把你的想法和同伴们交流一下.
甲、乙两人同时从相距100 km的A、B两地出发，相向而行，甲每小时走6 km，乙每小时走4 km，甲带着一只狗和他同时出发，狗以10 km/h的速度向乙奔去，遇到乙后立即回头奔向甲，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲、乙两人相遇时狗才停住.问：这只狗共跑了多少千米？
请你试着解答这个问题，并把你的想法和同伴们交流一下.
答案
10.由题意,狗的奔跑速度是10 km/h,要求狗的奔跑路程,那么求出它的奔跑时间是解决本题的关键.狗从甲、乙两人出发到甲、乙两人相遇时,一直在两人之间不断奔跑,因此狗的奔跑时间即甲、乙从出发到相遇的时间.
依题意,甲、乙的相遇时间为$100÷(6+4)=10\ (\mathrm{h})$,
则狗的奔跑路程为$10×10=100\ (\mathrm{km})$.
依题意,甲、乙的相遇时间为$100÷(6+4)=10\ (\mathrm{h})$,
则狗的奔跑路程为$10×10=100\ (\mathrm{km})$.
解析
【分析】
本题若直接逐段计算狗每次往返的路程，计算过程会非常繁琐且容易出错。我们可以从行程问题的基本公式入手：路程=速度×时间，题中已经给出狗的奔跑速度，因此只需要求出狗的总奔跑时间即可算出总路程。由题意可知，狗从甲乙出发时开始跑，直到甲乙相遇才停止，因此狗的奔跑时间恰好等于甲乙两人从出发到相遇的总时间，我们可以通过算术法或一元一次方程先求出甲乙的相遇时间，再代入公式计算狗的路程即可。
【解析】
解：狗的奔跑时间与甲、乙两人的相遇时间相等，先计算相遇时间：
方法一（算术法）：
甲、乙两人相向而行，速度和为 $6+4=10\ \mathrm{km/h}$，
根据“相遇时间=总路程÷速度和”，可得相遇时间为：
$100÷(6+4)=10\ \mathrm{h}$
方法二（方程法）：
设甲、乙两人经过$x$小时相遇，两人行驶的路程和等于A、B两地的总距离，列方程得：
$6x + 4x = 100$
解得 $x=10$，即相遇时间为10h。
已知狗的速度为10km/h，根据“路程=速度×时间”，狗跑的总路程为：
$10×10=100\ \mathrm{km}$
【答案】
这只狗共跑了100千米。
【知识点】
行程问题基本公式，相遇问题，一元一次方程应用
【点评】
本题是经典的行程类应用题，解题的核心是打破逐段计算狗奔跑路程的固化思维，抓住狗奔跑总时间等于甲乙相遇时间这一隐含条件，就能化繁为简快速求解，对锻炼思维灵活性很有帮助。
【难度系数】
0.6
本题若直接逐段计算狗每次往返的路程，计算过程会非常繁琐且容易出错。我们可以从行程问题的基本公式入手：路程=速度×时间，题中已经给出狗的奔跑速度，因此只需要求出狗的总奔跑时间即可算出总路程。由题意可知，狗从甲乙出发时开始跑，直到甲乙相遇才停止，因此狗的奔跑时间恰好等于甲乙两人从出发到相遇的总时间，我们可以通过算术法或一元一次方程先求出甲乙的相遇时间，再代入公式计算狗的路程即可。
【解析】
解：狗的奔跑时间与甲、乙两人的相遇时间相等，先计算相遇时间：
方法一（算术法）：
甲、乙两人相向而行，速度和为 $6+4=10\ \mathrm{km/h}$，
根据“相遇时间=总路程÷速度和”，可得相遇时间为：
$100÷(6+4)=10\ \mathrm{h}$
方法二（方程法）：
设甲、乙两人经过$x$小时相遇，两人行驶的路程和等于A、B两地的总距离，列方程得：
$6x + 4x = 100$
解得 $x=10$，即相遇时间为10h。
已知狗的速度为10km/h，根据“路程=速度×时间”，狗跑的总路程为：
$10×10=100\ \mathrm{km}$
【答案】
这只狗共跑了100千米。
【知识点】
行程问题基本公式，相遇问题，一元一次方程应用
【点评】
本题是经典的行程类应用题，解题的核心是打破逐段计算狗奔跑路程的固化思维，抓住狗奔跑总时间等于甲乙相遇时间这一隐含条件，就能化繁为简快速求解，对锻炼思维灵活性很有帮助。
【难度系数】
0.6
