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8. 计算：
(1) $-3^2 × (-2)^3$。
(2) $-5^2 - 1.25 × (-4)$。
(3) $(-2)^3 ÷ (\dfrac{4}{9})^2$。
(4) $-2^6 - (-2)^4 + 3^2$。
(1) $-3^2 × (-2)^3$。
(2) $-5^2 - 1.25 × (-4)$。
(3) $(-2)^3 ÷ (\dfrac{4}{9})^2$。
(4) $-2^6 - (-2)^4 + 3^2$。
答案
8.(1)72。
(2)$-20$。
(3)$-\dfrac{81}{2}$。
(4)$-71$。
(2)$-20$。
(3)$-\dfrac{81}{2}$。
(4)$-71$。
解析
【分析】
这4道题均为有理数混合运算，解题遵循以下思路：1. 先明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右计算；2. 乘方计算时注意区分底数：无括号时负号不属于底数，如$-a^n$表示$a^n$的相反数，有括号时负号属于底数，如$(-a)^n$表示$n$个$-a$相乘；3. 乘除、加减运算时注意符号判断，避免符号错误。
【解析】
(1) 第一步先计算乘方：$-3^2=-9$，$(-2)^3=-8$；
第二步计算乘法：$(-9)×(-8)=72$。
(2) 第一步先计算乘方：$-5^2=-25$；
第二步计算乘法：$1.25×(-4)=-5$；
第三步计算加减：$-25 - (-5) = -25 +5 = -20$。
(3) 第一步先计算乘方：$(-2)^3=-8$，$(\dfrac{4}{9})^2=\dfrac{16}{81}$；
第二步计算除法：除以一个数等于乘这个数的倒数，即$-8÷\dfrac{16}{81}=-8×\dfrac{81}{16}=-\dfrac{81}{2}$。
(4) 第一步先计算乘方：$-2^6=-64$，$(-2)^4=16$，$3^2=9$；
第二步计算加减：$-64 - 16 +9 = -80 +9 = -71$。
【答案】
(1)$72$；(2)$-20$；(3)$-\dfrac{81}{2}$；(4)$-71$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算顺序，有理数符号判断
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，核心易错点是带负号的乘方的底数区分，掌握运算顺序、注意符号判断即可准确解题。
【难度系数】
0.8
这4道题均为有理数混合运算，解题遵循以下思路：1. 先明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右计算；2. 乘方计算时注意区分底数：无括号时负号不属于底数，如$-a^n$表示$a^n$的相反数，有括号时负号属于底数，如$(-a)^n$表示$n$个$-a$相乘；3. 乘除、加减运算时注意符号判断，避免符号错误。
【解析】
(1) 第一步先计算乘方：$-3^2=-9$，$(-2)^3=-8$；
第二步计算乘法：$(-9)×(-8)=72$。
(2) 第一步先计算乘方：$-5^2=-25$；
第二步计算乘法：$1.25×(-4)=-5$；
第三步计算加减：$-25 - (-5) = -25 +5 = -20$。
(3) 第一步先计算乘方：$(-2)^3=-8$，$(\dfrac{4}{9})^2=\dfrac{16}{81}$；
第二步计算除法：除以一个数等于乘这个数的倒数，即$-8÷\dfrac{16}{81}=-8×\dfrac{81}{16}=-\dfrac{81}{2}$。
(4) 第一步先计算乘方：$-2^6=-64$，$(-2)^4=16$，$3^2=9$；
第二步计算加减：$-64 - 16 +9 = -80 +9 = -71$。
【答案】
(1)$72$；(2)$-20$；(3)$-\dfrac{81}{2}$；(4)$-71$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算顺序，有理数符号判断
【点评】
本题属于乘方运算的基础题型，核心易错点是带负号的乘方的底数区分，掌握运算顺序、注意符号判断即可准确解题。
【难度系数】
0.8
9.如图,将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分,①是正方形纸片面积的一半,②是①面积的一半,③是②面积的一半,依次类推。
(1)阴影部分的面积是多少?
(2)受此启发,你能求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^6}$的值吗?
(1)阴影部分的面积是多少?
(2)受此启发,你能求出$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^6}$的值吗?
答案
9.(1)$\dfrac{1}{64}$。
(2)$\dfrac{63}{64}$。
(2)$\dfrac{63}{64}$。
解析
【分析】
(1) 首先明确边长为1的正方形总面积为1，由题意可知每个带圈部分的面积是前一个部分面积的$\frac{1}{2}$，即第n个带圈部分的面积为$\frac{1}{2^n}$。观察图形可得阴影部分面积和第⑥个带圈部分面积相等，代入乘方计算即可得到阴影部分面积。
(2) 观察图形可知，算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^6}$对应①到⑥的面积之和，等于正方形总面积减去阴影部分的面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 边长为1的正方形面积为$1 × 1 = 1$。
根据题意规律：
①的面积为$\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$，
②的面积为$\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$，
③的面积为$\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$，
……
第6个带圈部分⑥的面积为$\frac{1}{2^6}$，
由图形可知阴影部分面积与⑥的面积相等，
因此阴影部分面积为$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$。
(2) 算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^6}$是①到⑥的面积总和，
正方形总面积为1，因此总和等于总面积减去阴影部分面积：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^6}=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{64}$；(2)$\dfrac{63}{64}$
【知识点】
有理数乘方；分数运算；数形结合
【点评】
本题借助正方形分割的情景考查乘方的意义和分数求和，利用数形结合的方法可以将抽象的分数求和问题直观化，降低计算难度，需要同学们掌握乘方的意义，学会从图形中挖掘数量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确边长为1的正方形总面积为1，由题意可知每个带圈部分的面积是前一个部分面积的$\frac{1}{2}$，即第n个带圈部分的面积为$\frac{1}{2^n}$。观察图形可得阴影部分面积和第⑥个带圈部分面积相等，代入乘方计算即可得到阴影部分面积。
(2) 观察图形可知，算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^6}$对应①到⑥的面积之和，等于正方形总面积减去阴影部分的面积，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 边长为1的正方形面积为$1 × 1 = 1$。
根据题意规律：
①的面积为$\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$，
②的面积为$\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$，
③的面积为$\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$，
……
第6个带圈部分⑥的面积为$\frac{1}{2^6}$，
由图形可知阴影部分面积与⑥的面积相等，
因此阴影部分面积为$\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$。
(2) 算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^6}$是①到⑥的面积总和，
正方形总面积为1，因此总和等于总面积减去阴影部分面积：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^6}=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}$。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{64}$；(2)$\dfrac{63}{64}$
【知识点】
有理数乘方；分数运算；数形结合
【点评】
本题借助正方形分割的情景考查乘方的意义和分数求和，利用数形结合的方法可以将抽象的分数求和问题直观化，降低计算难度，需要同学们掌握乘方的意义，学会从图形中挖掘数量关系。
【难度系数】
0.7
10. 下列选项中，按从小到大的顺序排列正确的是（
A.$-0.5^4 ＜ (-0.2)^3 ＜ (-0.3)^4$
B.$-0.5^4 ＜ (-0.3)^4 ＜ (-0.2)^3$
C.$(-0.3)^4 ＜ -0.5^4 ＜ (-0.2)^3$
D.$(-0.2)^3 ＜ -0.5^4 ＜ (-0.3)^4$
A
）A.$-0.5^4 ＜ (-0.2)^3 ＜ (-0.3)^4$
B.$-0.5^4 ＜ (-0.3)^4 ＜ (-0.2)^3$
C.$(-0.3)^4 ＜ -0.5^4 ＜ (-0.2)^3$
D.$(-0.2)^3 ＜ -0.5^4 ＜ (-0.3)^4$
答案
10.A
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确有理数乘方的符号规则和大小比较方法，解题步骤为：①先分别计算出三个式子的结果，计算时注意区分负号是否在括号内，避免符号出错；②根据有理数大小比较规则（负数小于正数，两个负数比较绝对值大的反而小）对结果排序，再匹配选项即可。
【解析】
先分别计算三个算式的结果：
1. 计算$-0.5^4$：根据运算顺序，先算乘方再添负号，$0.5^4=0.5×0.5×0.5×0.5=0.0625$，因此$-0.5^4=-0.0625$；
2. 计算$(-0.2)^3$：负数的奇次幂为负，$(-0.2)^3=(-0.2)×(-0.2)×(-0.2)=-0.008$；
3. 计算$(-0.3)^4$：负数的偶次幂为正，$(-0.3)^4=(-0.3)×(-0.3)×(-0.3)×(-0.3)=0.0081$。
再比较三个数的大小：
负数小于正数，因此两个负数都小于$0.0081$；两个负数比较，绝对值大的反而小，$|-0.0625|=0.0625＞|-0.008|=0.008$，因此$-0.0625＜-0.008$。
综上，大小顺序为：$-0.5^4 ＜ (-0.2)^3 ＜ (-0.3)^4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算；有理数的大小比较
【点评】
本题易错点是乘方运算的符号判断，解题时要特别注意：负号在括号外时，需先计算乘方再添加负号；负号在括号内时，负数的奇次幂为负，偶次幂为正，准确计算结果是正确排序的前提。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确有理数乘方的符号规则和大小比较方法，解题步骤为：①先分别计算出三个式子的结果，计算时注意区分负号是否在括号内，避免符号出错；②根据有理数大小比较规则（负数小于正数，两个负数比较绝对值大的反而小）对结果排序，再匹配选项即可。
【解析】
先分别计算三个算式的结果：
1. 计算$-0.5^4$：根据运算顺序，先算乘方再添负号，$0.5^4=0.5×0.5×0.5×0.5=0.0625$，因此$-0.5^4=-0.0625$；
2. 计算$(-0.2)^3$：负数的奇次幂为负，$(-0.2)^3=(-0.2)×(-0.2)×(-0.2)=-0.008$；
3. 计算$(-0.3)^4$：负数的偶次幂为正，$(-0.3)^4=(-0.3)×(-0.3)×(-0.3)×(-0.3)=0.0081$。
再比较三个数的大小：
负数小于正数，因此两个负数都小于$0.0081$；两个负数比较，绝对值大的反而小，$|-0.0625|=0.0625＞|-0.008|=0.008$，因此$-0.0625＜-0.008$。
综上，大小顺序为：$-0.5^4 ＜ (-0.2)^3 ＜ (-0.3)^4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算；有理数的大小比较
【点评】
本题易错点是乘方运算的符号判断，解题时要特别注意：负号在括号外时，需先计算乘方再添加负号；负号在括号内时，负数的奇次幂为负，偶次幂为正，准确计算结果是正确排序的前提。
【难度系数】
0.8
11.某种细菌每过30 min便由1个分裂成2个，经过3小时，这种细菌由1个能分裂成（
A.8个
B.16个
C.32个
D.64个
D
）A.8个
B.16个
C.32个
D.64个
答案
11.D
解析
【分析】
解题首先要统一时间单位，算出3小时里包含多少个30分钟，得到细菌的分裂次数；再结合细菌每次分裂后数量变为原来2倍的规律，可知分裂n次后总数量为2的n次方，代入分裂次数计算就能得到最终结果。
【解析】
1. 计算分裂次数：
先统一时间单位，3小时 = $3×60=180$ min
3小时内的分裂次数为 $180÷30=6$ 次
2. 计算最终细菌数量：
细菌每分裂1次数量乘2，分裂6次后，1个细菌的总数量为 $2^6=64$ 个
因此答案选D
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方、单位换算、乘方实际应用
【点评】
本题是乘方在实际场景中的基础应用题，解题核心是先准确算出分裂次数，再结合乘方的含义计算结果，做题时要注意先统一单位，避免因分裂次数算错失分。
【难度系数】
0.8
解题首先要统一时间单位，算出3小时里包含多少个30分钟，得到细菌的分裂次数；再结合细菌每次分裂后数量变为原来2倍的规律，可知分裂n次后总数量为2的n次方，代入分裂次数计算就能得到最终结果。
【解析】
1. 计算分裂次数：
先统一时间单位，3小时 = $3×60=180$ min
3小时内的分裂次数为 $180÷30=6$ 次
2. 计算最终细菌数量：
细菌每分裂1次数量乘2，分裂6次后，1个细菌的总数量为 $2^6=64$ 个
因此答案选D
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方、单位换算、乘方实际应用
【点评】
本题是乘方在实际场景中的基础应用题，解题核心是先准确算出分裂次数，再结合乘方的含义计算结果，做题时要注意先统一单位，避免因分裂次数算错失分。
【难度系数】
0.8
12. 小明学习了有理数的乘方后，知道$2^3=8$，$2^5=32$。他问老师：是否存在$2^0$和$2^{-2}$？如果存在，它们的值为多少？老师耐心地提示他：“$2^5 ÷ 2^3 = 4$，$2^{5-3}=4$；$3^4 ÷ 3^2 =9$，$3^{4-2}=9$，小明，你现在知道$2^0$和$2^{-2}$的值为多少了吗？”请仿照老师的方法，推算出$2^0$和$2^{-2}$的值。
答案
12.$2^0=1$,$2^{-2}=\dfrac{1}{4}$。
解析
【分析】
我们可以借助老师给出的同底数幂除法的运算规律来推导结果。首先推导$2^0$时，选取指数相同的同底数幂做除法：一方面直接计算除法，相同的非零数相除结果为1；另一方面按照“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的规律，会得到指数为0的幂，两个计算结果相等就能求出$2^0$的值。推导$2^{-2}$时，选取被除数指数比除数指数小2的同底数幂做除法，同样分别从直接计算、指数运算规律两个角度求结果，二者相等即可得到$2^{-2}$的值。
【解析】
1. 计算$2^0$的值：
计算$2^3 ÷ 2^3$，直接做除法可得：$2^3 ÷ 2^3 = 8 ÷ 8 = 1$；
按照同底数幂除法规律计算：$2^3 ÷ 2^3 = 2^{3-3} = 2^0$；
因此$2^0 = 1$。
2. 计算$2^{-2}$的值：
计算$2^3 ÷ 2^5$，直接做除法可得：$2^3 ÷ 2^5 = 8 ÷ 32 = \frac{1}{4}$；
按照同底数幂除法规律计算：$2^3 ÷ 2^5 = 2^{3-5} = 2^{-2}$；
因此$2^{-2} = \frac{1}{4}$。
【答案】
$2^0=1$，$2^{-2}=\dfrac{1}{4}$
【知识点】
同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂
【点评】
本题依托已学的同底数幂除法规律推导特殊指数幂的取值，考查知识迁移能力和逻辑推理能力，有助于加深对有理数乘方意义的理解。
【难度系数】
0.8
我们可以借助老师给出的同底数幂除法的运算规律来推导结果。首先推导$2^0$时，选取指数相同的同底数幂做除法：一方面直接计算除法，相同的非零数相除结果为1；另一方面按照“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的规律，会得到指数为0的幂，两个计算结果相等就能求出$2^0$的值。推导$2^{-2}$时，选取被除数指数比除数指数小2的同底数幂做除法，同样分别从直接计算、指数运算规律两个角度求结果，二者相等即可得到$2^{-2}$的值。
【解析】
1. 计算$2^0$的值：
计算$2^3 ÷ 2^3$，直接做除法可得：$2^3 ÷ 2^3 = 8 ÷ 8 = 1$；
按照同底数幂除法规律计算：$2^3 ÷ 2^3 = 2^{3-3} = 2^0$；
因此$2^0 = 1$。
2. 计算$2^{-2}$的值：
计算$2^3 ÷ 2^5$，直接做除法可得：$2^3 ÷ 2^5 = 8 ÷ 32 = \frac{1}{4}$；
按照同底数幂除法规律计算：$2^3 ÷ 2^5 = 2^{3-5} = 2^{-2}$；
因此$2^{-2} = \frac{1}{4}$。
【答案】
$2^0=1$，$2^{-2}=\dfrac{1}{4}$
【知识点】
同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂
【点评】
本题依托已学的同底数幂除法规律推导特殊指数幂的取值，考查知识迁移能力和逻辑推理能力，有助于加深对有理数乘方意义的理解。
【难度系数】
0.8
