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1. 四(3)班45名同学进行立定跳远和仰卧起坐体育达标检测,两项达标检测中获得满分的同学名单(用学号表示)如下。
在这两项体育达标检测中获得满分的同学一共有多少人?(先在下图中整理信息,再解答。)
在这两项体育达标检测中获得满分的同学一共有多少人?(先在下图中整理信息,再解答。)
答案
( 4 )人 ( 3 )人 ( 6 )人
7 + 9 - 3 = 13（人）
答：在这两项体育达标检测中获得满分的同学一共有13人。
7 + 9 - 3 = 13（人）
答：在这两项体育达标检测中获得满分的同学一共有13人。
解析
【分析】
这是典型的重叠问题，我们可以借助韦恩图（集合圈）梳理信息：两个独立的圈分别对应立定跳远满分、仰卧起坐满分的同学，两个圈重叠的区域对应两项都拿到满分的同学。如果直接把两项满分的总人数相加，重叠区域的同学会被多算1次，因此总人数=立定跳远满分总人数+仰卧起坐满分总人数-两项都满分的重复人数，也可以直接将“仅立定跳远满分、两项都满分、仅仰卧起坐满分”三部分人数相加得到结果。
【解析】
1. 整理韦恩图信息：
仅立定跳远满分的同学：4人，填在左侧圈不重叠的区域；
两项都满分的同学：3人，填在两个圈重叠的区域；
仅仰卧起坐满分的同学：6人，填在右侧圈不重叠的区域。
2. 计算总满分人数：
立定跳远满分总人数为4+3=7人，仰卧起坐满分总人数为3+6=9人，两项都满分的3人被重复计算了1次，因此总人数为：
$7+9-3=13$（人）
【答案】
韦恩图三个区域依次填4人、3人、6人；
$7+9-3=13$（人）
答：在这两项体育达标检测中获得满分的同学一共有13人。
【知识点】
重叠问题、集合初步、整数加减法
【点评】
本题重点考查重叠问题的解决思路，核心是准确找到重复计数的重叠部分，修正直接相加导致的计数重复问题，也可以通过拆分不同部分分别计数的方法求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的重叠问题，我们可以借助韦恩图（集合圈）梳理信息：两个独立的圈分别对应立定跳远满分、仰卧起坐满分的同学，两个圈重叠的区域对应两项都拿到满分的同学。如果直接把两项满分的总人数相加，重叠区域的同学会被多算1次，因此总人数=立定跳远满分总人数+仰卧起坐满分总人数-两项都满分的重复人数，也可以直接将“仅立定跳远满分、两项都满分、仅仰卧起坐满分”三部分人数相加得到结果。
【解析】
1. 整理韦恩图信息：
仅立定跳远满分的同学：4人，填在左侧圈不重叠的区域；
两项都满分的同学：3人，填在两个圈重叠的区域；
仅仰卧起坐满分的同学：6人，填在右侧圈不重叠的区域。
2. 计算总满分人数：
立定跳远满分总人数为4+3=7人，仰卧起坐满分总人数为3+6=9人，两项都满分的3人被重复计算了1次，因此总人数为：
$7+9-3=13$（人）
【答案】
韦恩图三个区域依次填4人、3人、6人；
$7+9-3=13$（人）
答：在这两项体育达标检测中获得满分的同学一共有13人。
【知识点】
重叠问题、集合初步、整数加减法
【点评】
本题重点考查重叠问题的解决思路，核心是准确找到重复计数的重叠部分，修正直接相加导致的计数重复问题，也可以通过拆分不同部分分别计数的方法求解。
【难度系数】
0.7
2. 社区开展传统文化传承活动，学剪纸的有25人，学刺绣的有30人，参与这两项学习活动的共有48人。两项都学的有多少人？
答案
25 + 30 = 55（人）
55 - 48 = 7（人）
答：两项都学的有7人。
55 - 48 = 7（人）
答：两项都学的有7人。
解析
【分析】
我们可以这样思考：学剪纸的25人里包含只学剪纸的人和两项都学的人，学刺绣的30人里包含只学刺绣的人和两项都学的人。如果直接把学剪纸和学刺绣的人数相加，两项都学的人就被统计了2次，得到的总人数会比实际参与的总人数多，多出来的人数就是被重复统计的、两项都学的人数。
【解析】
第一步：计算学剪纸和学刺绣的人数和，此时两项都学的人被重复计算1次：
$25 + 30 = 55$（人）
第二步：用上述和减去实际参与两项活动的总人数，差值就是重复统计的两项都学的人数：
$55 - 48 = 7$（人）
答：两项都学的有7人。
【答案】
两项都学的有7人。
【知识点】
重叠问题、整数加减法运算
【点评】
这是重叠问题的典型基础题型，核心是理解计数时重复部分的处理逻辑，熟练掌握方法后可以快速解决同类重叠计数问题。
【难度系数】
0.8
我们可以这样思考：学剪纸的25人里包含只学剪纸的人和两项都学的人，学刺绣的30人里包含只学刺绣的人和两项都学的人。如果直接把学剪纸和学刺绣的人数相加，两项都学的人就被统计了2次，得到的总人数会比实际参与的总人数多，多出来的人数就是被重复统计的、两项都学的人数。
【解析】
第一步：计算学剪纸和学刺绣的人数和，此时两项都学的人被重复计算1次：
$25 + 30 = 55$（人）
第二步：用上述和减去实际参与两项活动的总人数，差值就是重复统计的两项都学的人数：
$55 - 48 = 7$（人）
答：两项都学的有7人。
【答案】
两项都学的有7人。
【知识点】
重叠问题、整数加减法运算
【点评】
这是重叠问题的典型基础题型，核心是理解计数时重复部分的处理逻辑，熟练掌握方法后可以快速解决同类重叠计数问题。
【难度系数】
0.8
3.78名学生到图书馆借书，借故事书的有45人，借科普书的有42人，每人至少借一本书。既借故事书又借科普书的有多少人？
答案
45 + 42 - 78 = 9（人）
答：既借故事书又借科普书的有9人。
答：既借故事书又借科普书的有9人。
解析
【分析】
解题时首先明确：每人至少借一本书，那么借故事书的人数和借科普书的人数相加时，两种书都借的同学会被重复计算1次，因此得到的总和会比实际总人数多，多出的部分就是两种书都借的人数。我们只需要先算出借两类书的人数之和，再减去总人数，就能求出重叠的人数。
【解析】
第一步：计算借故事书和借科普书的人数总和：
$45 + 42 = 87$（人）
第二步：人数总和比实际学生总人数多的部分就是重复计算的、两种书都借的人数：
$87 - 78 = 9$（人）
答：既借故事书又借科普书的有9人。
【答案】
既借故事书又借科普书的有9人。
【知识点】
重叠问题、整数加减法混合运算
【点评】
本题是重叠问题的典型基础题，解题核心是理解两类计数相加时重叠部分被重复计数的特点，只需用两类计数的和减去总数量即可得到重叠部分的数量，熟练掌握规律后可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：每人至少借一本书，那么借故事书的人数和借科普书的人数相加时，两种书都借的同学会被重复计算1次，因此得到的总和会比实际总人数多，多出的部分就是两种书都借的人数。我们只需要先算出借两类书的人数之和，再减去总人数，就能求出重叠的人数。
【解析】
第一步：计算借故事书和借科普书的人数总和：
$45 + 42 = 87$（人）
第二步：人数总和比实际学生总人数多的部分就是重复计算的、两种书都借的人数：
$87 - 78 = 9$（人）
答：既借故事书又借科普书的有9人。
【答案】
既借故事书又借科普书的有9人。
【知识点】
重叠问题、整数加减法混合运算
【点评】
本题是重叠问题的典型基础题，解题核心是理解两类计数相加时重叠部分被重复计数的特点，只需用两类计数的和减去总数量即可得到重叠部分的数量，熟练掌握规律后可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.小磊对本班40名学生进行学科喜好情况调查。结果显示，喜欢数学的有25人，喜欢体育的有20人，两科都喜欢的有10人。他想知道“两科都不喜欢的有多少人”，可以借助图()来直观分析。
A.
A.
答案
25 + 20 - 10 = 35（人）
40 - 35 = 5（人）
答：A，两科都不喜欢的有5人。
40 - 35 = 5（人）
答：A，两科都不喜欢的有5人。
解析
【分析】
这是一道重叠问题，解题第一步先选择合适的分析图：由于存在“两科都喜欢”的重叠人群，只有带有重叠区域的集合图能直观表示出重复计数的部分，因此要选选项A的图。接下来计算时，先求至少喜欢一科的人数：把喜欢数学和喜欢体育的人数相加后，两科都喜欢的10人被重复计算了1次，所以要减去重复的10人，得到至少喜欢一科的总人数；最后用全班总人数减去至少喜欢一科的人数，就能算出两科都不喜欢的人数。
【解析】
1. 选图判断：存在两科都喜欢的重叠人群，需要用有重叠部分的集合图分析，因此选择A。
2. 计算至少喜欢一科的人数：两科都喜欢的10人在统计喜欢数学、喜欢体育的人数时被重复统计了1次，需减去重复部分：
$25 + 20 - 10 = 35$（人）
3. 计算两科都不喜欢的人数：用全班总人数减去至少喜欢一科的人数：
$40 - 35 = 5$（人）
【答案】
A，两科都不喜欢的有5人。
【知识点】
重叠问题；韦恩图应用
【点评】
本题结合实际调查场景考查重叠问题的解题逻辑，解题核心是明确重叠部分会被重复计数，需要减去重复的部分，借助韦恩图可以更清晰地理清各部分数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
这是一道重叠问题，解题第一步先选择合适的分析图：由于存在“两科都喜欢”的重叠人群，只有带有重叠区域的集合图能直观表示出重复计数的部分，因此要选选项A的图。接下来计算时，先求至少喜欢一科的人数：把喜欢数学和喜欢体育的人数相加后，两科都喜欢的10人被重复计算了1次，所以要减去重复的10人，得到至少喜欢一科的总人数；最后用全班总人数减去至少喜欢一科的人数，就能算出两科都不喜欢的人数。
【解析】
1. 选图判断：存在两科都喜欢的重叠人群，需要用有重叠部分的集合图分析，因此选择A。
2. 计算至少喜欢一科的人数：两科都喜欢的10人在统计喜欢数学、喜欢体育的人数时被重复统计了1次，需减去重复部分：
$25 + 20 - 10 = 35$（人）
3. 计算两科都不喜欢的人数：用全班总人数减去至少喜欢一科的人数：
$40 - 35 = 5$（人）
【答案】
A，两科都不喜欢的有5人。
【知识点】
重叠问题；韦恩图应用
【点评】
本题结合实际调查场景考查重叠问题的解题逻辑，解题核心是明确重叠部分会被重复计数，需要减去重复的部分，借助韦恩图可以更清晰地理清各部分数量关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
5. 四年级320名学生中，只会书法的有90人，只会绘画的有120人，两项都不会的有30人。现要从中选拔同时具备书法和绘画能力的学生参加书画比赛。请问符合条件的学生有多少人？
答案
320 - 90 - 120 - 30 = 80（人）
答：符合条件的学生有80人。
答：符合条件的学生有80人。
解析
【分析】
我们可以先把320名学生分成4个互不重叠的群体：只会书法的、只会绘画的、两项都会的、两项都不会的，这四类的人数加起来刚好等于总人数。要求两项都会的符合条件的学生人数，只需要用总人数依次减去另外三类的人数就可以得到结果。
【解析】
总人数包含只会书法、只会绘画、两项都会、两项都不会这四类学生，因此：
符合条件（两项都会）的人数 = 总人数 - 只会书法的人数 - 只会绘画的人数 - 两项都不会的人数
代入数据计算：
320 - 90 - 120 - 30
= 230 - 120 - 30
= 110 - 30
= 80（人）
答：符合条件的学生有80人。
【答案】
80人
【知识点】
重叠问题，分类计数，整数减法
【点评】
本题是重叠问题的基础应用，解题关键是清晰划分总人数对应的几类人群，理清不同群体间没有重叠的数量关系，再通过简单的减法计算即可求解。
【难度系数】
0.8
我们可以先把320名学生分成4个互不重叠的群体：只会书法的、只会绘画的、两项都会的、两项都不会的，这四类的人数加起来刚好等于总人数。要求两项都会的符合条件的学生人数，只需要用总人数依次减去另外三类的人数就可以得到结果。
【解析】
总人数包含只会书法、只会绘画、两项都会、两项都不会这四类学生，因此：
符合条件（两项都会）的人数 = 总人数 - 只会书法的人数 - 只会绘画的人数 - 两项都不会的人数
代入数据计算：
320 - 90 - 120 - 30
= 230 - 120 - 30
= 110 - 30
= 80（人）
答：符合条件的学生有80人。
【答案】
80人
【知识点】
重叠问题，分类计数，整数减法
【点评】
本题是重叠问题的基础应用，解题关键是清晰划分总人数对应的几类人群，理清不同群体间没有重叠的数量关系，再通过简单的减法计算即可求解。
【难度系数】
0.8
