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1. 周末,小明和小亮去万绿园放风筝,如图6,为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了测量,得到如下数据:①牵线放风筝的小明的身高为1.65米;②风筝与小明的水平距离BD的长为12米;③根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米.
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)要使风筝沿CD方向下降7米,则小明应该往回收风筝线多少米?
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)要使风筝沿CD方向下降7米,则小明应该往回收风筝线多少米?
答案
解：
(1) 在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BC=20米，BD=12米，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{20^2 - 12^2}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$（米），
由题意可知$DE=AB=1.65$米，
因此$CE=CD + DE=16 + 1.65=17.65$（米）。
(2) 设风筝沿CD方向下降7米后到达点F，则$CF=7$米，
$DF=CD - CF=16 - 7=9$（米），
在Rt△BDF中，∠BDF=90°，
由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BD^2 + DF^2}=\sqrt{12^2 + 9^2}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15$（米），
所以需要往回收风筝线的长度为$BC - BF=20 - 15=5$（米）。
答：(1) 风筝的垂直高度CE为17.65米；(2) 小明应该往回收风筝线5米。
(1) 在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BC=20米，BD=12米，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{20^2 - 12^2}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$（米），
由题意可知$DE=AB=1.65$米，
因此$CE=CD + DE=16 + 1.65=17.65$（米）。
(2) 设风筝沿CD方向下降7米后到达点F，则$CF=7$米，
$DF=CD - CF=16 - 7=9$（米），
在Rt△BDF中，∠BDF=90°，
由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BD^2 + DF^2}=\sqrt{12^2 + 9^2}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15$（米），
所以需要往回收风筝线的长度为$BC - BF=20 - 15=5$（米）。
答：(1) 风筝的垂直高度CE为17.65米；(2) 小明应该往回收风筝线5米。
解析
【分析】
(1) 要求风筝的垂直高度CE，观察图形可得CE=CD+DE，其中DE等于小明的身高，为已知量，因此只需计算CD的长度即可。CD位于Rt△BCD中，已知斜边BC和直角边BD的长度，直接用勾股定理即可求出CD，进而得到CE的高度。
(2) 风筝沿CD方向下降7米后，水平距离BD不变，竖直方向的直角边长度变为CD减去下降的7米，先用勾股定理求出下降后新的风筝线长度，再用原来的风筝线长度减去新的线长，即可得到需要回收的风筝线长度。
【解析】
(1) 在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BC=20米，BD=12米，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{20^2 - 12^2}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$（米），
由题意可知$DE=AB=1.65$米，
因此$CE=CD + DE=16 + 1.65=17.65$（米）。
(2) 设风筝沿CD方向下降7米后到达点F，则$CF=7$米，
$DF=CD - CF=16 - 7=9$（米），
在Rt△BDF中，∠BDF=90°，
由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BD^2 + DF^2}=\sqrt{12^2 + 9^2}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15$（米），
所以需要往回收风筝线的长度为$BC - BF=20 - 15=5$（米）。
【答案】
(1) 风筝的垂直高度CE为17.65米；(2) 小明应该往回收风筝线5米。
【知识点】
勾股定理；直角三角形实际应用
【点评】
本题结合生活场景命题，考查了将实际问题转化为直角三角形边长计算问题的能力，解题核心是准确抽象出直角三角形模型，找准已知边和待求边的关系，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要求风筝的垂直高度CE，观察图形可得CE=CD+DE，其中DE等于小明的身高，为已知量，因此只需计算CD的长度即可。CD位于Rt△BCD中，已知斜边BC和直角边BD的长度，直接用勾股定理即可求出CD，进而得到CE的高度。
(2) 风筝沿CD方向下降7米后，水平距离BD不变，竖直方向的直角边长度变为CD减去下降的7米，先用勾股定理求出下降后新的风筝线长度，再用原来的风筝线长度减去新的线长，即可得到需要回收的风筝线长度。
【解析】
(1) 在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BC=20米，BD=12米，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{20^2 - 12^2}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$（米），
由题意可知$DE=AB=1.65$米，
因此$CE=CD + DE=16 + 1.65=17.65$（米）。
(2) 设风筝沿CD方向下降7米后到达点F，则$CF=7$米，
$DF=CD - CF=16 - 7=9$（米），
在Rt△BDF中，∠BDF=90°，
由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BD^2 + DF^2}=\sqrt{12^2 + 9^2}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15$（米），
所以需要往回收风筝线的长度为$BC - BF=20 - 15=5$（米）。
【答案】
(1) 风筝的垂直高度CE为17.65米；(2) 小明应该往回收风筝线5米。
【知识点】
勾股定理；直角三角形实际应用
【点评】
本题结合生活场景命题，考查了将实际问题转化为直角三角形边长计算问题的能力，解题核心是准确抽象出直角三角形模型，找准已知边和待求边的关系，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
2. 勾股定理是人类最早发现、应用最为广泛的一条定理. 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,画了一幅如图7-1所示“赵爽弦图”(边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形,两直角边长分别为a,b,斜边长为c).
(1)如图7-1,请用两种不同方法表示图中阴影部分面积.
方法1:$S_{阴影}=$;
方法2:$S_{阴影}=$;
根据以上信息,可以得到等式:.
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换,得到图7-2,请利用该图证明勾股定理.
(3)如图7-3,将图7-2的2个三角形进行了运动变换,若$a=6,b=3$,求阴影部分的面积.
(1)如图7-1,请用两种不同方法表示图中阴影部分面积.
方法1:$S_{阴影}=$;
方法2:$S_{阴影}=$;
根据以上信息,可以得到等式:.
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换,得到图7-2,请利用该图证明勾股定理.
(3)如图7-3,将图7-2的2个三角形进行了运动变换,若$a=6,b=3$,求阴影部分的面积.
答案
解：
(1) 方法1：$S_{阴影}=(a-b)^2$；
方法2：$S_{阴影}=c^2 - 4×\frac{1}{2}ab = c^2 - 2ab$；
得到等式：$(a-b)^2 = c^2 - 2ab$（或化简后$a^2+b^2=c^2$）。
(2) 证明：
图7-2中，大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为：
$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2$
同时大正方形的面积也等于4个全等直角三角形的面积与中间阴影正方形的面积之和：
$S_{\mathrm{大正方形}}=4×\frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2$
因此可得等式：
$(a+b)^2 = 2ab + c^2$
展开左边得$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，两边同时减去$2ab$，得$a^2 + b^2 = c^2$，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，勾股定理得证。
(3) 阴影部分面积等于边长为$a+b$的大正方形面积减去2个全等直角三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=(a+b)^2 - 2×\frac{1}{2}ab\\&=a^2 + 2ab + b^2 - ab\\&=a^2 + ab + b^2\end{aligned}$
将$a=6$，$b=3$代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=6^2 + 6×3 + 3^2 = 36 + 18 + 9 = 63$
答：阴影部分的面积为63。
(1) 方法1：$S_{阴影}=(a-b)^2$；
方法2：$S_{阴影}=c^2 - 4×\frac{1}{2}ab = c^2 - 2ab$；
得到等式：$(a-b)^2 = c^2 - 2ab$（或化简后$a^2+b^2=c^2$）。
(2) 证明：
图7-2中，大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为：
$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2$
同时大正方形的面积也等于4个全等直角三角形的面积与中间阴影正方形的面积之和：
$S_{\mathrm{大正方形}}=4×\frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2$
因此可得等式：
$(a+b)^2 = 2ab + c^2$
展开左边得$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，两边同时减去$2ab$，得$a^2 + b^2 = c^2$，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，勾股定理得证。
(3) 阴影部分面积等于边长为$a+b$的大正方形面积减去2个全等直角三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=(a+b)^2 - 2×\frac{1}{2}ab\\&=a^2 + 2ab + b^2 - ab\\&=a^2 + ab + b^2\end{aligned}$
将$a=6$，$b=3$代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=6^2 + 6×3 + 3^2 = 36 + 18 + 9 = 63$
答：阴影部分的面积为63。
解析
【分析】
(1) 求解阴影部分面积有两种思路：①直接观察阴影图形特征：阴影为正方形，边长为直角三角形两直角边的差(a-b)，直接用正方形面积公式计算；②用整体减部分：边长为c的大正方形面积减去4个全等直角三角形的总面积即可得到阴影面积，两个面积表达式相等即可得到对应等式。
(2) 利用面积法证明勾股定理：先确定图7-2中大正方形的边长为(a+b)，分别用直接计算面积、“中间阴影正方形面积+4个直角三角形面积”两种方式表示大正方形面积，令两个表达式相等，化简后即可推导得到勾股定理。
(3) 求图7-3阴影面积仍用整体减部分的思路：整体是边长为(a+b)的大正方形，减去2个全等直角三角形的面积，先化简阴影面积的代数式，再代入a=6、b=3的数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 方法1：阴影是边长为(a-b)的正方形，因此$S_{阴影}=(a-b)^2$；
方法2：大正方形边长为c，面积为$c^2$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，因此$S_{阴影}=c^2 - 2ab$；
两个表达式均表示阴影面积，因此得到等式：$(a-b)^2 = c^2 - 2ab$，化简后可得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 证明：
图7-2中大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为：
$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2$
同时大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间阴影正方形（边长为c）的面积之和：
$S_{\mathrm{大正方形}}=4×\frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2$
因此可得等式：
$(a+b)^2 = 2ab + c^2$
展开左边得$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，两边同时减去$2ab$，得$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
(3) 阴影部分面积等于边长为$a+b$的大正方形面积减去2个全等直角三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=(a+b)^2 - 2×\frac{1}{2}ab\\&=a^2 + 2ab + b^2 - ab\\&=a^2 + ab + b^2\end{aligned}$
将$a=6$，$b=3$代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=6^2 + 6×3 + 3^2 = 36 + 18 + 9 = 63$
【答案】
(1) $(a-b)^2$；$c^2-2ab$；$(a-b)^2=c^2-2ab$（或$a^2+b^2=c^2$）
(2) 证明如上，最终推导得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理成立。
(3) 63
【知识点】
勾股定理的证明，面积法求面积，完全平方公式
【点评】
本题围绕勾股定理的不同证明模型展开，核心考查数形结合思想与面积法的应用，通过同一图形面积的不同表示方式建立等式，既帮助理解勾股定理的推导逻辑，也考查了代数式化简、代入求值的基础计算能力，是勾股定理板块的经典题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解阴影部分面积有两种思路：①直接观察阴影图形特征：阴影为正方形，边长为直角三角形两直角边的差(a-b)，直接用正方形面积公式计算；②用整体减部分：边长为c的大正方形面积减去4个全等直角三角形的总面积即可得到阴影面积，两个面积表达式相等即可得到对应等式。
(2) 利用面积法证明勾股定理：先确定图7-2中大正方形的边长为(a+b)，分别用直接计算面积、“中间阴影正方形面积+4个直角三角形面积”两种方式表示大正方形面积，令两个表达式相等，化简后即可推导得到勾股定理。
(3) 求图7-3阴影面积仍用整体减部分的思路：整体是边长为(a+b)的大正方形，减去2个全等直角三角形的面积，先化简阴影面积的代数式，再代入a=6、b=3的数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 方法1：阴影是边长为(a-b)的正方形，因此$S_{阴影}=(a-b)^2$；
方法2：大正方形边长为c，面积为$c^2$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，因此$S_{阴影}=c^2 - 2ab$；
两个表达式均表示阴影面积，因此得到等式：$(a-b)^2 = c^2 - 2ab$，化简后可得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 证明：
图7-2中大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为：
$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2$
同时大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积与中间阴影正方形（边长为c）的面积之和：
$S_{\mathrm{大正方形}}=4×\frac{1}{2}ab + c^2 = 2ab + c^2$
因此可得等式：
$(a+b)^2 = 2ab + c^2$
展开左边得$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$，两边同时减去$2ab$，得$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
(3) 阴影部分面积等于边长为$a+b$的大正方形面积减去2个全等直角三角形的面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=(a+b)^2 - 2×\frac{1}{2}ab\\&=a^2 + 2ab + b^2 - ab\\&=a^2 + ab + b^2\end{aligned}$
将$a=6$，$b=3$代入得：
$S_{\mathrm{阴影}}=6^2 + 6×3 + 3^2 = 36 + 18 + 9 = 63$
【答案】
(1) $(a-b)^2$；$c^2-2ab$；$(a-b)^2=c^2-2ab$（或$a^2+b^2=c^2$）
(2) 证明如上，最终推导得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理成立。
(3) 63
【知识点】
勾股定理的证明，面积法求面积，完全平方公式
【点评】
本题围绕勾股定理的不同证明模型展开，核心考查数形结合思想与面积法的应用，通过同一图形面积的不同表示方式建立等式，既帮助理解勾股定理的推导逻辑，也考查了代数式化简、代入求值的基础计算能力，是勾股定理板块的经典题型。
【难度系数】
0.7
