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【问题探究】(1)如图①,在$△ ABC$中,$BC=8$,D为BC上一点,$AD=6$.则$△ ABC$面积的最大值是
(2)如图②,在$△ ABC$中,$∠ BAC=60°$,AG为BC边上的高,$\odot O$为$△ ABC$的外接圆,若$AG=3$,试判断BC是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
【问题解决】(3)如图③,王老先生有一块矩形地ABCD,$AB=6\sqrt{2}+12$,$BC=6\sqrt{2}+6$,现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN,且满足点E在CD上,$AD=DE$,点F在BC上,且$CF=6$,点M在AE上,点N在AB上,$∠ MFN=90°$,这个四边形AMFN的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.
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.(2)如图②,在$△ ABC$中,$∠ BAC=60°$,AG为BC边上的高,$\odot O$为$△ ABC$的外接圆,若$AG=3$,试判断BC是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
【问题解决】(3)如图③,王老先生有一块矩形地ABCD,$AB=6\sqrt{2}+12$,$BC=6\sqrt{2}+6$,现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN,且满足点E在CD上,$AD=DE$,点F在BC上,且$CF=6$,点M在AE上,点N在AB上,$∠ MFN=90°$,这个四边形AMFN的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 24
(2) 如图①,连结 OA,OB,OC,作 $OE ⊥ BC$ 于点 E. 设 $OA=OC=2x$,
$\because ∠COB=2∠CAB=120°, OC=OB, OE ⊥ CB, \therefore CE=EB, ∠COE=∠BOE=60°, \therefore ∠OBE=30°, \therefore OE=\frac{1}{2}OB=x, BE=\sqrt{3}x. \because OA+OE≥AG, \therefore 3x≥3, \therefore x≥1, \therefore x$ 的最小值为 1. $\because BC=2\sqrt{3}x, \therefore BC$ 的最小值为 $2\sqrt{3}$.
(3) 如图②,连结 AF,EF,延长 BC 交 AE 的延长线于点 G, $\because ∠D=90°, DE=AD=BC=6\sqrt{2}+6, \therefore ∠DAE=∠AED=45°. \because CD=AB=6\sqrt{2}+12, \therefore CE=CF=6, \therefore ∠CEF=∠CFE=45°, \therefore ∠AEF=90°, \therefore EF=6\sqrt{2}=BF. \because ∠MFN=90°, \therefore ∠EFM+∠BFN=45°$, 将 $△EFM$ 绕点 F 顺时针旋转得到 $△FBH$, 点 N,点 B,点 H 三点共线, 则 $∠NFH=45°$, 作 $△FHN$ 的外接 $\odot O$, 连结 ON, $\because ∠AEF=∠ABF=90°, AF=AF, EF=BF, \therefore Rt△AEF ≌ Rt△ABF(HL), \therefore S_{△AEF}=S_{△ABF}. \because ∠EFG=45°, ∠FEG=90°, \therefore ∠EGF=45°, \therefore EF=EG=6\sqrt{2}, \therefore FG=\sqrt{2}EF=12$, 由(2)可知, 当 $△FHN$ 的外接圆的圆心 O 在线段 BF 上时, $△FNH$ 的面积最小, 此时四边形 AMFN 的面积最大, 设 $OF=ON=r$, 则 $OB=BN=\frac{\sqrt{2}}{2}r, \therefore r+\frac{\sqrt{2}}{2}r=6\sqrt{2}, \therefore r=6\sqrt{2}(2-\sqrt{2}), \therefore NH=\sqrt{2}r=12(2-\sqrt{2}), \therefore$ 四边形 AMFN 的面积的最大值 $=2×\frac{1}{2}×(6\sqrt{2}+12)×6\sqrt{2}-\frac{1}{2}×12(2-\sqrt{2})×6\sqrt{2}=144$.
解析
【分析】
(1) △ABC的底BC固定为8，面积大小由BC边上的高决定，已知AD=6，当AD⊥BC时，AD就是BC边上的最大高，代入面积公式即可求出最大值。
(2) 由圆周角定理可得，定角∠BAC=60°对应的圆心角∠BOC=120°，设外接圆半径为参数可推出BC与半径的关系，再结合“OA+OE≥AG（垂线段最短，O、E、A共线时取等号）”求出半径的最小值，进而得到BC的最小值。
(3) 先根据矩形性质和已知边长推导角度、边的关系，证明△AEF≌△ABF，再通过旋转将四边形AMFN的面积转化为两个全等直角三角形的面积和减去△FNH的面积，要使四边形面积最大，只需△FNH面积最小；△FNH符合第(2)问的定角定高最值模型，代入模型结论即可求出最小面积，最终得到四边形的最大面积。
【解析】
(1) 当AD⊥BC时，△ABC中BC边上的高最大，最大值为AD=6：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×6=24$。
(2) BC存在最小值，求解如下：
如图①，连结OA、OB、OC，作 $OE ⊥ BC$ 于点E，设 $OA=OC=2x$。
$\because ∠COB=2∠CAB=120°, OC=OB, OE ⊥ CB$，
$\therefore CE=EB, ∠COE=∠BOE=60°, ∠OBE=30°$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=x, BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{3}x$。
由垂线段最短可得$OA+OE≥AG$，即$3x≥3$，解得$x≥1$，x的最小值为1。
$\because BC=2BE=2\sqrt{3}x$，代入x=1得BC的最小值为$2\sqrt{3}$。
(3) 四边形AMFN的面积存在最大值，求解如下：
如图②，连结AF、EF，延长BC交AE的延长线于点G。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠D=∠ABF=90°, AD=BC=6\sqrt{2}+6, CD=AB=6\sqrt{2}+12$。
$\because DE=AD$，$\therefore △ADE$为等腰直角三角形，$∠DAE=∠AED=45°$，
$\therefore CE=CD-DE=6$，又$CF=6$，$\therefore △CEF$为等腰直角三角形，$∠CEF=∠CFE=45°, EF=6\sqrt{2}$，
$\therefore ∠AEF=90°, BF=BC-CF=6\sqrt{2}$，即$EF=BF$。
在$Rt△AEF$和$Rt△ABF$中，$\{\begin{array}{l}AF=AF\\EF=BF\end{array} $，$\therefore Rt△AEF ≌ Rt△ABF(HL)$，$S_{△AEF}=S_{△ABF}$。
$\because ∠MFN=90°, ∠EFB=135°$，$\therefore ∠EFM+∠BFN=45°$。
将$△EFM$绕点F顺时针旋转得到$△FBH$，点N、B、H共线，则$∠NFH=45°$。
此时$S_{四边形AMFN}=2S_{△ABF}-S_{△FHN}$，要使四边形面积最大，需$S_{△FHN}$最小。
$△FHN$为定角45°、高$BF=6\sqrt{2}$的定角定高三角形，由(2)的结论，当外接圆圆心O在BF上时，$S_{△FHN}$最小。
设$OF=ON=r$，则$OB=BN=\frac{\sqrt{2}}{2}r$，由$r+\frac{\sqrt{2}}{2}r=6\sqrt{2}$，解得$r=6\sqrt{2}(2-\sqrt{2})$，
$\therefore NH=\sqrt{2}r=12(2-\sqrt{2})$，
$\therefore S_{四边形AMFN最大值}=(6\sqrt{2}+12)×6\sqrt{2}-\frac{1}{2}×12(2-\sqrt{2})×6\sqrt{2}=144$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{24}$
(2) BC存在最小值，最小值为$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
(3) 四边形AMFN的面积存在最大值，最大值为$\boldsymbol{144}$
辅助线如图：
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 圆周角定理
3. 旋转的性质
【点评】
本题由浅入深设置问题，从基础三角形最值延伸到定角定高几何模型的综合应用，考查了全等三角形、圆的性质、图形旋转等多个知识点的融合运用。解题时要注意前后小问的方法关联，学会将复杂问题转化为已掌握的基础模型求解。
【难度系数】
0.3
(1) △ABC的底BC固定为8，面积大小由BC边上的高决定，已知AD=6，当AD⊥BC时，AD就是BC边上的最大高，代入面积公式即可求出最大值。
(2) 由圆周角定理可得，定角∠BAC=60°对应的圆心角∠BOC=120°，设外接圆半径为参数可推出BC与半径的关系，再结合“OA+OE≥AG（垂线段最短，O、E、A共线时取等号）”求出半径的最小值，进而得到BC的最小值。
(3) 先根据矩形性质和已知边长推导角度、边的关系，证明△AEF≌△ABF，再通过旋转将四边形AMFN的面积转化为两个全等直角三角形的面积和减去△FNH的面积，要使四边形面积最大，只需△FNH面积最小；△FNH符合第(2)问的定角定高最值模型，代入模型结论即可求出最小面积，最终得到四边形的最大面积。
【解析】
(1) 当AD⊥BC时，△ABC中BC边上的高最大，最大值为AD=6：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×8×6=24$。
(2) BC存在最小值，求解如下：
如图①，连结OA、OB、OC，作 $OE ⊥ BC$ 于点E，设 $OA=OC=2x$。
$\because ∠COB=2∠CAB=120°, OC=OB, OE ⊥ CB$，
$\therefore CE=EB, ∠COE=∠BOE=60°, ∠OBE=30°$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OB=x, BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{3}x$。
由垂线段最短可得$OA+OE≥AG$，即$3x≥3$，解得$x≥1$，x的最小值为1。
$\because BC=2BE=2\sqrt{3}x$，代入x=1得BC的最小值为$2\sqrt{3}$。
(3) 四边形AMFN的面积存在最大值，求解如下：
如图②，连结AF、EF，延长BC交AE的延长线于点G。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore ∠D=∠ABF=90°, AD=BC=6\sqrt{2}+6, CD=AB=6\sqrt{2}+12$。
$\because DE=AD$，$\therefore △ADE$为等腰直角三角形，$∠DAE=∠AED=45°$，
$\therefore CE=CD-DE=6$，又$CF=6$，$\therefore △CEF$为等腰直角三角形，$∠CEF=∠CFE=45°, EF=6\sqrt{2}$，
$\therefore ∠AEF=90°, BF=BC-CF=6\sqrt{2}$，即$EF=BF$。
在$Rt△AEF$和$Rt△ABF$中，$\{\begin{array}{l}AF=AF\\EF=BF\end{array} $，$\therefore Rt△AEF ≌ Rt△ABF(HL)$，$S_{△AEF}=S_{△ABF}$。
$\because ∠MFN=90°, ∠EFB=135°$，$\therefore ∠EFM+∠BFN=45°$。
将$△EFM$绕点F顺时针旋转得到$△FBH$，点N、B、H共线，则$∠NFH=45°$。
此时$S_{四边形AMFN}=2S_{△ABF}-S_{△FHN}$，要使四边形面积最大，需$S_{△FHN}$最小。
$△FHN$为定角45°、高$BF=6\sqrt{2}$的定角定高三角形，由(2)的结论，当外接圆圆心O在BF上时，$S_{△FHN}$最小。
设$OF=ON=r$，则$OB=BN=\frac{\sqrt{2}}{2}r$，由$r+\frac{\sqrt{2}}{2}r=6\sqrt{2}$，解得$r=6\sqrt{2}(2-\sqrt{2})$，
$\therefore NH=\sqrt{2}r=12(2-\sqrt{2})$，
$\therefore S_{四边形AMFN最大值}=(6\sqrt{2}+12)×6\sqrt{2}-\frac{1}{2}×12(2-\sqrt{2})×6\sqrt{2}=144$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{24}$
(2) BC存在最小值，最小值为$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
(3) 四边形AMFN的面积存在最大值，最大值为$\boldsymbol{144}$
辅助线如图：
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 圆周角定理
3. 旋转的性质
【点评】
本题由浅入深设置问题，从基础三角形最值延伸到定角定高几何模型的综合应用，考查了全等三角形、圆的性质、图形旋转等多个知识点的融合运用。解题时要注意前后小问的方法关联，学会将复杂问题转化为已掌握的基础模型求解。
【难度系数】
0.3
