2. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AB=CD,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连结DB,DB平分∠ABC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作DC的垂线,分别交AB,AE于点F,G,若AG=3,AD=4,求四边形ABCD的面积.

(1)证明:
∵ AB//CD,AB=CD,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,∠ABD=∠CDB.
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD.
∴ ∠CDB=∠CBD.
∴ CD=CB.
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
(2)由(1)可知,四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=AD=4,AD//BC.
∵ AE⊥BC，
∴ AE⊥AD.
∴ ∠DAG=90°.
∴ $DG=\sqrt{AG^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
∵ AB//CD,DG⊥DC，
∴ DG⊥AB.
∴ $S_{△ ADG}=\frac{1}{2}DG· AF=\frac{1}{2}AD· AG$.
∴ $AF=\frac{AD· AG}{DG}=\frac{4× 3}{5}=\frac{12}{5}$.
∴ $DF=\sqrt{AD^2-AF^2}=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$.
∴ $S_{菱形ABCD}=AB· DF=4× \frac{16}{5}=\frac{64}{5}$.

3.“学以致用,知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识,更重要的是将所学知识应用到实际生活中,从而实现知行合一的境界.生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度,为了测量出这些距离和角度,项目学习小组进行了如下探究:
| 项目主题 | 自制数学工具,测量生活中的“线”与“角” |
| --- | --- |
| 项目任务 | 项目一:测量锥形容器内部底面的内径
项目二:测量斜坡的倾斜角度 |
| 所需材料 | 刻度尺、两根小棒、螺丝钉等
正方形板、指针、重锤、3D打印机等 |
| 测量方案示意图 |
|
| 实施步骤 | ①如图1,用螺丝钉将两根小棒AD,BC在它们的中点O处固定
②再将两根小棒的A,B端分别置于杯子内部底面内径的两端
③用刻度尺测量两根小棒的C,D端之间的距离 | ①利用正方形板、指针、重锤等材料,借助3D打印技术,制作“3D迷你测坡仪”
②如图2,将“3D迷你测坡仪”置于斜坡OB上,待重锤与指针稳定
③读出指针MC与零刻度线MD所对的∠CMD的度数 |
| 测量数据 | $CD=9\ \mathrm{cm}$ | $∠ CMD=17°$ |
| 项目结论 | 锥形容器内部底面的内径$AB=9\ \mathrm{cm}$ | 斜坡OB的倾斜角度为$17°$ |
(1)项目一中,利用了全等三角形的性质.通过证明$△ AOB ≌ △ DOC$,就可以得到$AB=CD=9\ \mathrm{cm}$.判定$△ AOB ≌ △ DOC$的方法是(填字母序号);
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
(2)项目二中,如图3是简化的测量方案示意图,其中,$MC // OA$,$MD // OB$,请你证明:$∠ CMD = ∠ O$.

(1)A
(2)证明:
∵ MC//OA,
∴ ∠O=∠OBM.
∵ MD//OB,
∴ ∠CMD=∠OBM.
∴ ∠CMD=∠O.